Есть решение на [0; π/2]: (Aa−(mq−Ca)cos t)/(p sin t−q cos t) = m — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3a − (30 − 3a)cos t8sin t − 15cos t = 2
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
3a − (30 − 3a)cos t8sin t − 15cos t = 2
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
Показать ответ
[0; 16/5) ∪ (16/5; 16/3]
Решение
Умножим на знаменатель: 3a − 30cos t + 3a·cos t = 16sin t − 30cos t. Слагаемые с cos t без параметра сокращаются, и остаётся a(3 + 3cos t) = 16sin t.
Значит a = 16sin t3 + 3cos t. Производная этой функции имеет числитель 3cos t + 3 > 0, поэтому на [0; π/2] она возрастает от 0 до 16/3.
Остаётся ОДЗ: знаменатель 8sin t − 15cos t обращается в нуль при tg t = 15/8, то есть при sin t = 15/17, cos t = 8/17 (здесь 82 + 152 = 172). В этой точке параметр равен 16/5 — это значение выкалывается.
Ответ: [0; 16/5) ∪ (16/5; 16/3].
Значит a = 16sin t3 + 3cos t. Производная этой функции имеет числитель 3cos t + 3 > 0, поэтому на [0; π/2] она возрастает от 0 до 16/3.
Остаётся ОДЗ: знаменатель 8sin t − 15cos t обращается в нуль при tg t = 15/8, то есть при sin t = 15/17, cos t = 8/17 (здесь 82 + 152 = 172). В этой точке параметр равен 16/5 — это значение выкалывается.
Ответ: [0; 16/5) ∪ (16/5; 16/3].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3a − (8 − a)cos t3sin t − 4cos t = 2
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
3a − (8 − a)cos t3sin t − 4cos t = 2
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
Показать ответ
[0; 4/3) ∪ (4/3; 2]
Решение
Умножим на знаменатель: 3a − 8cos t + a·cos t = 6sin t − 8cos t. Слагаемые с cos t без параметра сокращаются, и остаётся a(3 + cos t) = 6sin t.
Значит a = 6sin t3 + cos t. Производная этой функции имеет числитель 3cos t + 1 > 0, поэтому на [0; π/2] она возрастает от 0 до 2.
Остаётся ОДЗ: знаменатель 3sin t − 4cos t обращается в нуль при tg t = 4/3, то есть при sin t = 4/5, cos t = 3/5 (здесь 32 + 42 = 52). В этой точке параметр равен 4/3 — это значение выкалывается.
Ответ: [0; 4/3) ∪ (4/3; 2].
Значит a = 6sin t3 + cos t. Производная этой функции имеет числитель 3cos t + 1 > 0, поэтому на [0; π/2] она возрастает от 0 до 2.
Остаётся ОДЗ: знаменатель 3sin t − 4cos t обращается в нуль при tg t = 4/3, то есть при sin t = 4/5, cos t = 3/5 (здесь 32 + 42 = 52). В этой точке параметр равен 4/3 — это значение выкалывается.
Ответ: [0; 4/3) ∪ (4/3; 2].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
6a − (4 − a)cos t3sin t − 4cos t = 1
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
6a − (4 − a)cos t3sin t − 4cos t = 1
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
Показать ответ
[0; 4/11) ∪ (4/11; 1/2]
Решение
Умножим на знаменатель: 6a − 4cos t + a·cos t = 3sin t − 4cos t. Слагаемые с cos t без параметра сокращаются, и остаётся a(6 + cos t) = 3sin t.
Значит a = 3sin t6 + cos t. Производная этой функции имеет числитель 6cos t + 1 > 0, поэтому на [0; π/2] она возрастает от 0 до 1/2.
Остаётся ОДЗ: знаменатель 3sin t − 4cos t обращается в нуль при tg t = 4/3, то есть при sin t = 4/5, cos t = 3/5 (здесь 32 + 42 = 52). В этой точке параметр равен 4/11 — это значение выкалывается.
Ответ: [0; 4/11) ∪ (4/11; 1/2].
Значит a = 3sin t6 + cos t. Производная этой функции имеет числитель 6cos t + 1 > 0, поэтому на [0; π/2] она возрастает от 0 до 1/2.
Остаётся ОДЗ: знаменатель 3sin t − 4cos t обращается в нуль при tg t = 4/3, то есть при sin t = 4/5, cos t = 3/5 (здесь 32 + 42 = 52). В этой точке параметр равен 4/11 — это значение выкалывается.
Ответ: [0; 4/11) ∪ (4/11; 1/2].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3a − (8 − 3a)cos t15sin t − 8cos t = 1
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
3a − (8 − 3a)cos t15sin t − 8cos t = 1
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
Показать ответ
[0; 5/4) ∪ (5/4; 5]
Решение
Умножим на знаменатель: 3a − 8cos t + 3a·cos t = 15sin t − 8cos t. Слагаемые с cos t без параметра сокращаются, и остаётся a(3 + 3cos t) = 15sin t.
Значит a = 15sin t3 + 3cos t. Производная этой функции имеет числитель 3cos t + 3 > 0, поэтому на [0; π/2] она возрастает от 0 до 5.
Остаётся ОДЗ: знаменатель 15sin t − 8cos t обращается в нуль при tg t = 8/15, то есть при sin t = 8/17, cos t = 15/17 (здесь 152 + 82 = 172). В этой точке параметр равен 5/4 — это значение выкалывается.
Ответ: [0; 5/4) ∪ (5/4; 5].
Значит a = 15sin t3 + 3cos t. Производная этой функции имеет числитель 3cos t + 3 > 0, поэтому на [0; π/2] она возрастает от 0 до 5.
Остаётся ОДЗ: знаменатель 15sin t − 8cos t обращается в нуль при tg t = 8/15, то есть при sin t = 8/17, cos t = 15/17 (здесь 152 + 82 = 172). В этой точке параметр равен 5/4 — это значение выкалывается.
Ответ: [0; 5/4) ∪ (5/4; 5].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
8a − (30 − a)cos t8sin t − 15cos t = 2
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
8a − (30 − a)cos t8sin t − 15cos t = 2
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
Показать ответ
[0; 5/3) ∪ (5/3; 2]
Решение
Умножим на знаменатель: 8a − 30cos t + a·cos t = 16sin t − 30cos t. Слагаемые с cos t без параметра сокращаются, и остаётся a(8 + cos t) = 16sin t.
Значит a = 16sin t8 + cos t. Производная этой функции имеет числитель 8cos t + 1 > 0, поэтому на [0; π/2] она возрастает от 0 до 2.
Остаётся ОДЗ: знаменатель 8sin t − 15cos t обращается в нуль при tg t = 15/8, то есть при sin t = 15/17, cos t = 8/17 (здесь 82 + 152 = 172). В этой точке параметр равен 5/3 — это значение выкалывается.
Ответ: [0; 5/3) ∪ (5/3; 2].
Значит a = 16sin t8 + cos t. Производная этой функции имеет числитель 8cos t + 1 > 0, поэтому на [0; π/2] она возрастает от 0 до 2.
Остаётся ОДЗ: знаменатель 8sin t − 15cos t обращается в нуль при tg t = 15/8, то есть при sin t = 15/17, cos t = 8/17 (здесь 82 + 152 = 172). В этой точке параметр равен 5/3 — это значение выкалывается.
Ответ: [0; 5/3) ∪ (5/3; 2].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.