Есть решение на [L; 0]: {|x|+|a| ≤ c; x²+px < ka+d} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы неравенств с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x| + |a| ≤ 3x2 + 2x < 8a + 48
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−3; 0].
|x| + |a| ≤ 3x2 + 2x < 8a + 48
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−3; 0].
Показать ответ
[−3; 3]
Решение
На отрезке [−3; 0] имеем |x| = −x, поэтому первое условие превращается в x ≥ |a| − 3.
Второе — это x2 + 2x − 8a − 48 < 0, то есть x строго между корнями r1 и r2 = −2 ± 2 (при неотрицательном подкоренном).
Значит решение существует ⟺ отрезок [max(−3; |a| − 3); 0] пересекается с интервалом (r1; r2): нужно, чтобы левый конец не был правее нуля, чтобы r1 < 0 и чтобы левый конец был меньше r2.
Концы r иррациональны, но сравнения точные: знак выражения вида A + B√s определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−3; 3].
Второе — это x2 + 2x − 8a − 48 < 0, то есть x строго между корнями r1 и r2 = −2 ± 2 (при неотрицательном подкоренном).
Значит решение существует ⟺ отрезок [max(−3; |a| − 3); 0] пересекается с интервалом (r1; r2): нужно, чтобы левый конец не был правее нуля, чтобы r1 < 0 и чтобы левый конец был меньше r2.
Концы r иррациональны, но сравнения точные: знак выражения вида A + B√s определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−3; 3].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x| + |a| ≤ 3x2 + 6x < 8a + 24
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−1; 0].
|x| + |a| ≤ 3x2 + 6x < 8a + 24
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−1; 0].
Показать ответ
(−3; 3]
Решение
На отрезке [−1; 0] имеем |x| = −x, поэтому первое условие превращается в x ≥ |a| − 3.
Второе — это x2 + 6x − 8a − 24 < 0, то есть x строго между корнями r1 и r2 = −6 ± 2 (при неотрицательном подкоренном).
Значит решение существует ⟺ отрезок [max(−1; |a| − 3); 0] пересекается с интервалом (r1; r2): нужно, чтобы левый конец не был правее нуля, чтобы r1 < 0 и чтобы левый конец был меньше r2.
Концы r иррациональны, но сравнения точные: знак выражения вида A + B√s определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: (−3; 3].
Второе — это x2 + 6x − 8a − 24 < 0, то есть x строго между корнями r1 и r2 = −6 ± 2 (при неотрицательном подкоренном).
Значит решение существует ⟺ отрезок [max(−1; |a| − 3); 0] пересекается с интервалом (r1; r2): нужно, чтобы левый конец не был правее нуля, чтобы r1 < 0 и чтобы левый конец был меньше r2.
Концы r иррациональны, но сравнения точные: знак выражения вида A + B√s определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: (−3; 3].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x| + |a| ≤ 3x2 + 2x < 8a + 48
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−2; 0].
|x| + |a| ≤ 3x2 + 2x < 8a + 48
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−2; 0].
Показать ответ
[−3; 3]
Решение
На отрезке [−2; 0] имеем |x| = −x, поэтому первое условие превращается в x ≥ |a| − 3.
Второе — это x2 + 2x − 8a − 48 < 0, то есть x строго между корнями r1 и r2 = −2 ± 2 (при неотрицательном подкоренном).
Значит решение существует ⟺ отрезок [max(−2; |a| − 3); 0] пересекается с интервалом (r1; r2): нужно, чтобы левый конец не был правее нуля, чтобы r1 < 0 и чтобы левый конец был меньше r2.
Концы r иррациональны, но сравнения точные: знак выражения вида A + B√s определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−3; 3].
Второе — это x2 + 2x − 8a − 48 < 0, то есть x строго между корнями r1 и r2 = −2 ± 2 (при неотрицательном подкоренном).
Значит решение существует ⟺ отрезок [max(−2; |a| − 3); 0] пересекается с интервалом (r1; r2): нужно, чтобы левый конец не был правее нуля, чтобы r1 < 0 и чтобы левый конец был меньше r2.
Концы r иррациональны, но сравнения точные: знак выражения вида A + B√s определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−3; 3].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x| + |a| ≤ 6x2 + 2x < 8a + 24
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−2; 0].
|x| + |a| ≤ 6x2 + 2x < 8a + 24
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−2; 0].
Показать ответ
(−25/8; 6]
Решение
На отрезке [−2; 0] имеем |x| = −x, поэтому первое условие превращается в x ≥ |a| − 6.
Второе — это x2 + 2x − 8a − 24 < 0, то есть x строго между корнями r1 и r2 = −2 ± 2 (при неотрицательном подкоренном).
Значит решение существует ⟺ отрезок [max(−2; |a| − 6); 0] пересекается с интервалом (r1; r2): нужно, чтобы левый конец не был правее нуля, чтобы r1 < 0 и чтобы левый конец был меньше r2.
Концы r иррациональны, но сравнения точные: знак выражения вида A + B√s определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: (−25/8; 6].
Второе — это x2 + 2x − 8a − 24 < 0, то есть x строго между корнями r1 и r2 = −2 ± 2 (при неотрицательном подкоренном).
Значит решение существует ⟺ отрезок [max(−2; |a| − 6); 0] пересекается с интервалом (r1; r2): нужно, чтобы левый конец не был правее нуля, чтобы r1 < 0 и чтобы левый конец был меньше r2.
Концы r иррациональны, но сравнения точные: знак выражения вида A + B√s определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: (−25/8; 6].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x| + |a| ≤ 6x2 + 4x < 8a + 12
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−2; 0].
|x| + |a| ≤ 6x2 + 4x < 8a + 12
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−2; 0].
Показать ответ
(−2; 6]
Решение
На отрезке [−2; 0] имеем |x| = −x, поэтому первое условие превращается в x ≥ |a| − 6.
Второе — это x2 + 4x − 8a − 12 < 0, то есть x строго между корнями r1 и r2 = −4 ± 2 (при неотрицательном подкоренном).
Значит решение существует ⟺ отрезок [max(−2; |a| − 6); 0] пересекается с интервалом (r1; r2): нужно, чтобы левый конец не был правее нуля, чтобы r1 < 0 и чтобы левый конец был меньше r2.
Концы r иррациональны, но сравнения точные: знак выражения вида A + B√s определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: (−2; 6].
Второе — это x2 + 4x − 8a − 12 < 0, то есть x строго между корнями r1 и r2 = −4 ± 2 (при неотрицательном подкоренном).
Значит решение существует ⟺ отрезок [max(−2; |a| − 6); 0] пересекается с интервалом (r1; r2): нужно, чтобы левый конец не был правее нуля, чтобы r1 < 0 и чтобы левый конец был меньше r2.
Концы r иррациональны, но сравнения точные: знак выражения вида A + B√s определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: (−2; 6].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.