Есть решение на [−L; L]: (k|x|−a−c)(x²−px−q−a) ≤ 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы неравенств с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
(4|x| − a − 3)(x2 − 3 − a) ≤ 0
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку [−5; 5].
(4|x| − a − 3)(x2 − 3 − a) ≤ 0
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку [−5; 5].
Показать ответ
[−3; 22]
Решение
Произведение неположительно ⟺ множители имеют разные знаки (или один из них равен нулю). Значит подходит любое x, для которого выполняется одно из двух: 4|x| ≤ a + 3 и одновременно x2 − 3 ≥ a, либо наоборот.
Первое множество — отрезок [−m; m] с m = a + 34 (он существует при a ≥ −3), второе — отрезок [x1; x2] с концами ∓ 2.
Остаётся проверить непустоту двух пересечений внутри [−5; 5]. Концы x1 и x2 иррациональны, но сравнения с рациональными границами точны: знак разности − 2ρ ∓ 2 определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−3; 22].
Первое множество — отрезок [−m; m] с m = a + 34 (он существует при a ≥ −3), второе — отрезок [x1; x2] с концами ∓ 2.
Остаётся проверить непустоту двух пересечений внутри [−5; 5]. Концы x1 и x2 иррациональны, но сравнения с рациональными границами точны: знак разности − 2ρ ∓ 2 определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−3; 22].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
(4|x| − a − 1)(x2 − 2x − 1 − a) ≤ 0
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку [−4; 4].
(4|x| − a − 1)(x2 − 2x − 1 − a) ≤ 0
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку [−4; 4].
Показать ответ
[−2; 23]
Решение
Произведение неположительно ⟺ множители имеют разные знаки (или один из них равен нулю). Значит подходит любое x, для которого выполняется одно из двух: 4|x| ≤ a + 1 и одновременно x2 − 2x − 1 ≥ a, либо наоборот.
Первое множество — отрезок [−m; m] с m = a + 14 (он существует при a ≥ −1), второе — отрезок [x1; x2] с концами 2 ∓ 2.
Остаётся проверить непустоту двух пересечений внутри [−4; 4]. Концы x1 и x2 иррациональны, но сравнения с рациональными границами точны: знак разности 2 − 2ρ ∓ 2 определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−2; 23].
Первое множество — отрезок [−m; m] с m = a + 14 (он существует при a ≥ −1), второе — отрезок [x1; x2] с концами 2 ∓ 2.
Остаётся проверить непустоту двух пересечений внутри [−4; 4]. Концы x1 и x2 иррациональны, но сравнения с рациональными границами точны: знак разности 2 − 2ρ ∓ 2 определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−2; 23].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
(4|x| − a − 1)(x2 − 4x − 1 − a) ≤ 0
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку [−5; 5].
(4|x| − a − 1)(x2 − 4x − 1 − a) ≤ 0
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку [−5; 5].
Показать ответ
[−5; 44]
Решение
Произведение неположительно ⟺ множители имеют разные знаки (или один из них равен нулю). Значит подходит любое x, для которого выполняется одно из двух: 4|x| ≤ a + 1 и одновременно x2 − 4x − 1 ≥ a, либо наоборот.
Первое множество — отрезок [−m; m] с m = a + 14 (он существует при a ≥ −1), второе — отрезок [x1; x2] с концами 4 ∓ 2.
Остаётся проверить непустоту двух пересечений внутри [−5; 5]. Концы x1 и x2 иррациональны, но сравнения с рациональными границами точны: знак разности 4 − 2ρ ∓ 2 определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−5; 44].
Первое множество — отрезок [−m; m] с m = a + 14 (он существует при a ≥ −1), второе — отрезок [x1; x2] с концами 4 ∓ 2.
Остаётся проверить непустоту двух пересечений внутри [−5; 5]. Концы x1 и x2 иррациональны, но сравнения с рациональными границами точны: знак разности 4 − 2ρ ∓ 2 определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−5; 44].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
(2|x| − a − 3)(x2 − a) ≤ 0
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку [−2; 2].
(2|x| − a − 3)(x2 − a) ≤ 0
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку [−2; 2].
Показать ответ
[−3; 4]
Решение
Произведение неположительно ⟺ множители имеют разные знаки (или один из них равен нулю). Значит подходит любое x, для которого выполняется одно из двух: 2|x| ≤ a + 3 и одновременно x2 ≥ a, либо наоборот.
Первое множество — отрезок [−m; m] с m = a + 32 (он существует при a ≥ −3), второе — отрезок [x1; x2] с концами ∓ 2.
Остаётся проверить непустоту двух пересечений внутри [−2; 2]. Концы x1 и x2 иррациональны, но сравнения с рациональными границами точны: знак разности − 2ρ ∓ 2 определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−3; 4].
Первое множество — отрезок [−m; m] с m = a + 32 (он существует при a ≥ −3), второе — отрезок [x1; x2] с концами ∓ 2.
Остаётся проверить непустоту двух пересечений внутри [−2; 2]. Концы x1 и x2 иррациональны, но сравнения с рациональными границами точны: знак разности − 2ρ ∓ 2 определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−3; 4].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
(3|x| − a − 2)(x2 − 4x − 2 − a) ≤ 0
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку [−5; 5].
(3|x| − a − 2)(x2 − 4x − 2 − a) ≤ 0
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку [−5; 5].
Показать ответ
[−6; 43]
Решение
Произведение неположительно ⟺ множители имеют разные знаки (или один из них равен нулю). Значит подходит любое x, для которого выполняется одно из двух: 3|x| ≤ a + 2 и одновременно x2 − 4x − 2 ≥ a, либо наоборот.
Первое множество — отрезок [−m; m] с m = a + 23 (он существует при a ≥ −2), второе — отрезок [x1; x2] с концами 4 ∓ 2.
Остаётся проверить непустоту двух пересечений внутри [−5; 5]. Концы x1 и x2 иррациональны, но сравнения с рациональными границами точны: знак разности 4 − 2ρ ∓ 2 определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−6; 43].
Первое множество — отрезок [−m; m] с m = a + 23 (он существует при a ≥ −2), второе — отрезок [x1; x2] с концами 4 ∓ 2.
Остаётся проверить непустоту двух пересечений внутри [−5; 5]. Концы x1 и x2 иррациональны, но сравнения с рациональными границами точны: знак разности 4 − 2ρ ∓ 2 определяется возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: [−6; 43].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.