Есть решение на отрезке: (sin x−a cos x)/(sin x+q cos x) = 1/(a+r) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
sin x − a cos xsin x + 3cos x = 1a + 4
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π4.
sin x − a cos xsin x + 3cos x = 1a + 4
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π4.
Показать ответ
{−3} ∪ [−1; 0]
Решение
ОДЗ: a ≠ −4. Разделим числитель и знаменатель на cos x (на данном отрезке знаменатель положителен) и обозначим u = tg x: получаем u − au + 3 = 1a + 4.
Отсюда (u − a)(a + 4) = u + 3, то есть u(a + 3) = a2 + 4a + 3. Правая часть раскладывается: a2 + 4a + 3 = (a + 3)(a + 1).
Значит при a ≠ −3 остаётся u = a + 1, а при a = −3 уравнение превращается в тождество и годится любое x из отрезка.
На отрезке 0; π4 тангенс пробегает [0; 1], поэтому условие сводится к принадлежности a + 1 этому множеству.
Ответ: {−3} ∪ [−1; 0].
Отсюда (u − a)(a + 4) = u + 3, то есть u(a + 3) = a2 + 4a + 3. Правая часть раскладывается: a2 + 4a + 3 = (a + 3)(a + 1).
Значит при a ≠ −3 остаётся u = a + 1, а при a = −3 уравнение превращается в тождество и годится любое x из отрезка.
На отрезке 0; π4 тангенс пробегает [0; 1], поэтому условие сводится к принадлежности a + 1 этому множеству.
Ответ: {−3} ∪ [−1; 0].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
sin x − a cos xsin x + cos x = 1a + 2
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
sin x − a cos xsin x + cos x = 1a + 2
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
Показать ответ
[−1; +∞)
Решение
ОДЗ: a ≠ −2. Разделим числитель и знаменатель на cos x (на данном отрезке знаменатель положителен) и обозначим u = tg x: получаем u − au + = 1a + 2.
Отсюда (u − a)(a + 2) = u + 1, то есть u(a + 1) = a2 + 2a + 1. Правая часть раскладывается: a2 + 2a + 1 = (a + 1)(a + 1).
Значит при a ≠ −1 остаётся u = a + 1, а при a = −1 уравнение превращается в тождество и годится любое x из отрезка.
На отрезке 0; π2 тангенс пробегает [0; +∞), поэтому условие сводится к принадлежности a + 1 этому множеству.
Ответ: [−1; +∞).
Отсюда (u − a)(a + 2) = u + 1, то есть u(a + 1) = a2 + 2a + 1. Правая часть раскладывается: a2 + 2a + 1 = (a + 1)(a + 1).
Значит при a ≠ −1 остаётся u = a + 1, а при a = −1 уравнение превращается в тождество и годится любое x из отрезка.
На отрезке 0; π2 тангенс пробегает [0; +∞), поэтому условие сводится к принадлежности a + 1 этому множеству.
Ответ: [−1; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
sin x − a cos xsin x = 1a + 1
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
sin x − a cos xsin x = 1a + 1
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π2.
Показать ответ
(−1; +∞)
Решение
ОДЗ: a ≠ −1. Разделим числитель и знаменатель на cos x (на данном отрезке знаменатель положителен) и обозначим u = tg x: получаем u − au = 1a + 1.
Отсюда (u − a)(a + 1) = u, то есть u(a) = a2 + a. Правая часть раскладывается: a2 + a = (a)(a + 1).
Значит при a ≠ 0 остаётся u = a + 1, а при a = 0 уравнение превращается в тождество и годится любое x из отрезка.
На отрезке 0; π2 тангенс пробегает [0; +∞), поэтому условие сводится к принадлежности a + 1 этому множеству.
Ответ: (−1; +∞).
Отсюда (u − a)(a + 1) = u, то есть u(a) = a2 + a. Правая часть раскладывается: a2 + a = (a)(a + 1).
Значит при a ≠ 0 остаётся u = a + 1, а при a = 0 уравнение превращается в тождество и годится любое x из отрезка.
На отрезке 0; π2 тангенс пробегает [0; +∞), поэтому условие сводится к принадлежности a + 1 этому множеству.
Ответ: (−1; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
sin x − a cos xsin x + 4cos x = 1a + 5
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π4.
sin x − a cos xsin x + 4cos x = 1a + 5
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π4.
Показать ответ
{−4} ∪ [−1; 0]
Решение
ОДЗ: a ≠ −5. Разделим числитель и знаменатель на cos x (на данном отрезке знаменатель положителен) и обозначим u = tg x: получаем u − au + 4 = 1a + 5.
Отсюда (u − a)(a + 5) = u + 4, то есть u(a + 4) = a2 + 5a + 4. Правая часть раскладывается: a2 + 5a + 4 = (a + 4)(a + 1).
Значит при a ≠ −4 остаётся u = a + 1, а при a = −4 уравнение превращается в тождество и годится любое x из отрезка.
На отрезке 0; π4 тангенс пробегает [0; 1], поэтому условие сводится к принадлежности a + 1 этому множеству.
Ответ: {−4} ∪ [−1; 0].
Отсюда (u − a)(a + 5) = u + 4, то есть u(a + 4) = a2 + 5a + 4. Правая часть раскладывается: a2 + 5a + 4 = (a + 4)(a + 1).
Значит при a ≠ −4 остаётся u = a + 1, а при a = −4 уравнение превращается в тождество и годится любое x из отрезка.
На отрезке 0; π4 тангенс пробегает [0; 1], поэтому условие сводится к принадлежности a + 1 этому множеству.
Ответ: {−4} ∪ [−1; 0].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
sin x − a cos xsin x = 1a + 1
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π4.
sin x − a cos xsin x = 1a + 1
имеет хотя бы одно решение на отрезке 0; π4.
Показать ответ
(−1; 0]
Решение
ОДЗ: a ≠ −1. Разделим числитель и знаменатель на cos x (на данном отрезке знаменатель положителен) и обозначим u = tg x: получаем u − au = 1a + 1.
Отсюда (u − a)(a + 1) = u, то есть u(a) = a2 + a. Правая часть раскладывается: a2 + a = (a)(a + 1).
Значит при a ≠ 0 остаётся u = a + 1, а при a = 0 уравнение превращается в тождество и годится любое x из отрезка.
На отрезке 0; π4 тангенс пробегает [0; 1], поэтому условие сводится к принадлежности a + 1 этому множеству.
Ответ: (−1; 0].
Отсюда (u − a)(a + 1) = u, то есть u(a) = a2 + a. Правая часть раскладывается: a2 + a = (a)(a + 1).
Значит при a ≠ 0 остаётся u = a + 1, а при a = 0 уравнение превращается в тождество и годится любое x из отрезка.
На отрезке 0; π4 тангенс пробегает [0; 1], поэтому условие сводится к принадлежности a + 1 этому множеству.
Ответ: (−1; 0].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.