Галочка и горизонталь ограничивают треугольник площади ≤ S — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых линии
y = a|x + 2| + |a| − 4 и y = a2
ограничивают многоугольник, площадь которого не больше 1.
y = a|x + 2| + |a| − 4 и y = a2
ограничивают многоугольник, площадь которого не больше 1.
Показать ответ
[−4; −8/3) ∪ [4; 8)
Решение
Первая линия — «галочка» с вершиной (−2; |a| − 4) и наклонами ветвей ±a, вторая — горизонтальная прямая y = a2.
Они ограничивают треугольник, только если прямая проходит с той стороны от вершины, куда открыта галочка: при a > 0 нужно a2 > a − 4, при a < 0 — наоборот.
Высота треугольника h равна расстоянию от вершины до прямой, а половина основания — h/|a| (ветви имеют наклон ±a). Значит площадь равна h2|a|.
Неравенство h2 ≤ 1|a| после подстановки h становится обычным квадратным неравенством по a — отдельно на каждой ветви.
Ответ: [−4; −8/3) ∪ [4; 8).
Они ограничивают треугольник, только если прямая проходит с той стороны от вершины, куда открыта галочка: при a > 0 нужно a2 > a − 4, при a < 0 — наоборот.
Высота треугольника h равна расстоянию от вершины до прямой, а половина основания — h/|a| (ветви имеют наклон ±a). Значит площадь равна h2|a|.
Неравенство h2 ≤ 1|a| после подстановки h становится обычным квадратным неравенством по a — отдельно на каждой ветви.
Ответ: [−4; −8/3) ∪ [4; 8).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых линии
y = a|x − 2| + |a| − 4 и y = a2
ограничивают многоугольник, площадь которого не больше 1.
y = a|x − 2| + |a| − 4 и y = a2
ограничивают многоугольник, площадь которого не больше 1.
Показать ответ
[−4; −8/3) ∪ [4; 8)
Решение
Первая линия — «галочка» с вершиной (2; |a| − 4) и наклонами ветвей ±a, вторая — горизонтальная прямая y = a2.
Они ограничивают треугольник, только если прямая проходит с той стороны от вершины, куда открыта галочка: при a > 0 нужно a2 > a − 4, при a < 0 — наоборот.
Высота треугольника h равна расстоянию от вершины до прямой, а половина основания — h/|a| (ветви имеют наклон ±a). Значит площадь равна h2|a|.
Неравенство h2 ≤ 1|a| после подстановки h становится обычным квадратным неравенством по a — отдельно на каждой ветви.
Ответ: [−4; −8/3) ∪ [4; 8).
Они ограничивают треугольник, только если прямая проходит с той стороны от вершины, куда открыта галочка: при a > 0 нужно a2 > a − 4, при a < 0 — наоборот.
Высота треугольника h равна расстоянию от вершины до прямой, а половина основания — h/|a| (ветви имеют наклон ±a). Значит площадь равна h2|a|.
Неравенство h2 ≤ 1|a| после подстановки h становится обычным квадратным неравенством по a — отдельно на каждой ветви.
Ответ: [−4; −8/3) ∪ [4; 8).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых линии
y = a|x − 2| + |a| − 2 и y = a2
ограничивают многоугольник, площадь которого не больше 0,5.
y = a|x − 2| + |a| − 2 и y = a2
ограничивают многоугольник, площадь которого не больше 0,5.
Показать ответ
[−2; −4/3) ∪ [2; 4)
Решение
Первая линия — «галочка» с вершиной (2; |a| − 2) и наклонами ветвей ±a, вторая — горизонтальная прямая y = a2.
Они ограничивают треугольник, только если прямая проходит с той стороны от вершины, куда открыта галочка: при a > 0 нужно a2 > a − 2, при a < 0 — наоборот.
Высота треугольника h равна расстоянию от вершины до прямой, а половина основания — h/|a| (ветви имеют наклон ±a). Значит площадь равна h2|a|.
Неравенство h2 ≤ 0,5|a| после подстановки h становится обычным квадратным неравенством по a — отдельно на каждой ветви.
Ответ: [−2; −4/3) ∪ [2; 4).
Они ограничивают треугольник, только если прямая проходит с той стороны от вершины, куда открыта галочка: при a > 0 нужно a2 > a − 2, при a < 0 — наоборот.
Высота треугольника h равна расстоянию от вершины до прямой, а половина основания — h/|a| (ветви имеют наклон ±a). Значит площадь равна h2|a|.
Неравенство h2 ≤ 0,5|a| после подстановки h становится обычным квадратным неравенством по a — отдельно на каждой ветви.
Ответ: [−2; −4/3) ∪ [2; 4).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых линии
y = a|x + 1| + |a| − 2 и y = a2
ограничивают многоугольник, площадь которого не больше 0,5.
y = a|x + 1| + |a| − 2 и y = a2
ограничивают многоугольник, площадь которого не больше 0,5.
Показать ответ
[−2; −4/3) ∪ [2; 4)
Решение
Первая линия — «галочка» с вершиной (−1; |a| − 2) и наклонами ветвей ±a, вторая — горизонтальная прямая y = a2.
Они ограничивают треугольник, только если прямая проходит с той стороны от вершины, куда открыта галочка: при a > 0 нужно a2 > a − 2, при a < 0 — наоборот.
Высота треугольника h равна расстоянию от вершины до прямой, а половина основания — h/|a| (ветви имеют наклон ±a). Значит площадь равна h2|a|.
Неравенство h2 ≤ 0,5|a| после подстановки h становится обычным квадратным неравенством по a — отдельно на каждой ветви.
Ответ: [−2; −4/3) ∪ [2; 4).
Они ограничивают треугольник, только если прямая проходит с той стороны от вершины, куда открыта галочка: при a > 0 нужно a2 > a − 2, при a < 0 — наоборот.
Высота треугольника h равна расстоянию от вершины до прямой, а половина основания — h/|a| (ветви имеют наклон ±a). Значит площадь равна h2|a|.
Неравенство h2 ≤ 0,5|a| после подстановки h становится обычным квадратным неравенством по a — отдельно на каждой ветви.
Ответ: [−2; −4/3) ∪ [2; 4).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых линии
y = a|x − 3| + |a| − 2 и y = a2
ограничивают многоугольник, площадь которого не больше 0,5.
y = a|x − 3| + |a| − 2 и y = a2
ограничивают многоугольник, площадь которого не больше 0,5.
Показать ответ
[−2; −4/3) ∪ [2; 4)
Решение
Первая линия — «галочка» с вершиной (3; |a| − 2) и наклонами ветвей ±a, вторая — горизонтальная прямая y = a2.
Они ограничивают треугольник, только если прямая проходит с той стороны от вершины, куда открыта галочка: при a > 0 нужно a2 > a − 2, при a < 0 — наоборот.
Высота треугольника h равна расстоянию от вершины до прямой, а половина основания — h/|a| (ветви имеют наклон ±a). Значит площадь равна h2|a|.
Неравенство h2 ≤ 0,5|a| после подстановки h становится обычным квадратным неравенством по a — отдельно на каждой ветви.
Ответ: [−2; −4/3) ∪ [2; 4).
Они ограничивают треугольник, только если прямая проходит с той стороны от вершины, куда открыта галочка: при a > 0 нужно a2 > a − 2, при a < 0 — наоборот.
Высота треугольника h равна расстоянию от вершины до прямой, а половина основания — h/|a| (ветви имеют наклон ±a). Значит площадь равна h2|a|.
Неравенство h2 ≤ 0,5|a| после подстановки h становится обычным квадратным неравенством по a — отдельно на каждой ветви.
Ответ: [−2; −4/3) ∪ [2; 4).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.