Хотя бы один корень: a²−pa+k√(x²+β²) = u|x−va| − w|x| — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Оценочные «хотя бы один корень». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2 − 5a + 5 = |x − 3a| − 4|x|
имеет хотя бы один корень.
a2 − 5a + 5 = |x − 3a| − 4|x|
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[3; 5]
Решение
Оценим части. Слева 5√(x2 + 9) ≥ 15, причём равенство только при x = 0.
Справа по неравенству треугольника |x − 3a| ≤ |x| + 3|a|, поэтому правая часть не превосходит −3|x| + 3|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 3|x|, где D(a) = a2 − 5a + 15 − 3|a|, и при x = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 5a + 15 ≤ 3|a|.
Ответ: [3; 5].
Справа по неравенству треугольника |x − 3a| ≤ |x| + 3|a|, поэтому правая часть не превосходит −3|x| + 3|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 3|x|, где D(a) = a2 − 5a + 15 − 3|a|, и при x = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 5a + 15 ≤ 3|a|.
Ответ: [3; 5].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2 − a + 2 = 2|x − 3a| − 6|x|
имеет хотя бы один корень.
a2 − a + 2 = 2|x − 3a| − 6|x|
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−3; −2] ∪ [1; 6]
Решение
Оценим части. Слева 2√(x2 + 9) ≥ 6, причём равенство только при x = 0.
Справа по неравенству треугольника 2|x − 3a| ≤ 2|x| + 6|a|, поэтому правая часть не превосходит −4|x| + 6|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 4|x|, где D(a) = a2 − a + 6 − 6|a|, и при x = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − a + 6 ≤ 6|a|.
Ответ: [−3; −2] ∪ [1; 6].
Справа по неравенству треугольника 2|x − 3a| ≤ 2|x| + 6|a|, поэтому правая часть не превосходит −4|x| + 6|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 4|x|, где D(a) = a2 − a + 6 − 6|a|, и при x = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − a + 6 ≤ 6|a|.
Ответ: [−3; −2] ∪ [1; 6].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2 − 5a + 2 = |x − 2a| − 8|x|
имеет хотя бы один корень.
a2 − 5a + 2 = |x − 2a| − 8|x|
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[2; 5]
Решение
Оценим части. Слева 2√(x2 + 25) ≥ 10, причём равенство только при x = 0.
Справа по неравенству треугольника |x − 2a| ≤ |x| + 2|a|, поэтому правая часть не превосходит −7|x| + 2|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 7|x|, где D(a) = a2 − 5a + 10 − 2|a|, и при x = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 5a + 10 ≤ 2|a|.
Ответ: [2; 5].
Справа по неравенству треугольника |x − 2a| ≤ |x| + 2|a|, поэтому правая часть не превосходит −7|x| + 2|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 7|x|, где D(a) = a2 − 5a + 10 − 2|a|, и при x = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 5a + 10 ≤ 2|a|.
Ответ: [2; 5].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2 − 2a + 2 = 2|x − 2a| − 6|x|
имеет хотя бы один корень.
a2 − 2a + 2 = 2|x − 2a| − 6|x|
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[2; 4]
Решение
Оценим части. Слева 2√(x2 + 16) ≥ 8, причём равенство только при x = 0.
Справа по неравенству треугольника 2|x − 2a| ≤ 2|x| + 4|a|, поэтому правая часть не превосходит −4|x| + 4|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 4|x|, где D(a) = a2 − 2a + 8 − 4|a|, и при x = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 2a + 8 ≤ 4|a|.
Ответ: [2; 4].
Справа по неравенству треугольника 2|x − 2a| ≤ 2|x| + 4|a|, поэтому правая часть не превосходит −4|x| + 4|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 4|x|, где D(a) = a2 − 2a + 8 − 4|a|, и при x = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 2a + 8 ≤ 4|a|.
Ответ: [2; 4].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2 − 2a + 3 = |x − 3a| − 8|x|
имеет хотя бы один корень.
a2 − 2a + 3 = |x − 3a| − 8|x|
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[2; 3]
Решение
Оценим части. Слева 3√(x2 + 4) ≥ 6, причём равенство только при x = 0.
Справа по неравенству треугольника |x − 3a| ≤ |x| + 3|a|, поэтому правая часть не превосходит −7|x| + 3|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 7|x|, где D(a) = a2 − 2a + 6 − 3|a|, и при x = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 2a + 6 ≤ 3|a|.
Ответ: [2; 3].
Справа по неравенству треугольника |x − 3a| ≤ |x| + 3|a|, поэтому правая часть не превосходит −7|x| + 3|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 7|x|, где D(a) = a2 − 2a + 6 − 3|a|, и при x = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 2a + 6 ≤ 3|a|.
Ответ: [2; 3].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.