Хотя бы один корень: (c+|x+a|)³−(…)² = (d−x²−2ax−ka²)³−(…)² — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Модули на полупрямой: |kt−a|−|t+ma| = t². 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(4 + |x + a|)3 − (4 + |x + a|)2 = 5 − x2 − 2ax − 2a23 − 5 − x2 − 2ax − 2a22
имеет хотя бы один корень.
(4 + |x + a|)3 − (4 + |x + a|)2 = 5 − x2 − 2ax − 2a23 − 5 − x2 − 2ax − 2a22
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−1; 1]
Решение
Обе части — значения функции φ(u) = u3 − u2. Она возрастает при u ≥ 23 (φ′(u) = u(3u − 2)) и неположительна при u ≤ 1.
Слева u = 4 + |x + a| ≥ 4, поэтому φ(u) ≥ 48 > 0. Значит и правая часть положительна, откуда v = 5 − x2 − 2ax − 2a2 > 1, а на промежутке 23; +∞ функция φ обратима — остаётся u = v.
Заметим, что −x2 − 2ax − 2a2 = −(x + a)2 − a2. Обозначим y = |x + a| ≥ 0: 4 + y = 5 − y2 − a2, то есть y2 + y + a2 − 1 = 0.
Функция y2 + y возрастает при y ≥ 0 и равна нулю в нуле, поэтому подходящий y ≥ 0 существует ⟺ 1 − a2 ≥ 0 ⟺ |a| ≤ 1.
Ответ: [−1; 1].
Слева u = 4 + |x + a| ≥ 4, поэтому φ(u) ≥ 48 > 0. Значит и правая часть положительна, откуда v = 5 − x2 − 2ax − 2a2 > 1, а на промежутке 23; +∞ функция φ обратима — остаётся u = v.
Заметим, что −x2 − 2ax − 2a2 = −(x + a)2 − a2. Обозначим y = |x + a| ≥ 0: 4 + y = 5 − y2 − a2, то есть y2 + y + a2 − 1 = 0.
Функция y2 + y возрастает при y ≥ 0 и равна нулю в нуле, поэтому подходящий y ≥ 0 существует ⟺ 1 − a2 ≥ 0 ⟺ |a| ≤ 1.
Ответ: [−1; 1].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(3 + |x + a|)3 − (3 + |x + a|)2 = 6 − x2 − 2ax − 4a23 − 6 − x2 − 2ax − 4a22
имеет хотя бы один корень.
(3 + |x + a|)3 − (3 + |x + a|)2 = 6 − x2 − 2ax − 4a23 − 6 − x2 − 2ax − 4a22
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−1; 1]
Решение
Обе части — значения функции φ(u) = u3 − u2. Она возрастает при u ≥ 23 (φ′(u) = u(3u − 2)) и неположительна при u ≤ 1.
Слева u = 3 + |x + a| ≥ 3, поэтому φ(u) ≥ 18 > 0. Значит и правая часть положительна, откуда v = 6 − x2 − 2ax − 4a2 > 1, а на промежутке 23; +∞ функция φ обратима — остаётся u = v.
Заметим, что −x2 − 2ax − 4a2 = −(x + a)2 − 3a2. Обозначим y = |x + a| ≥ 0: 3 + y = 6 − y2 − 3a2, то есть y2 + y + 3a2 − 3 = 0.
Функция y2 + y возрастает при y ≥ 0 и равна нулю в нуле, поэтому подходящий y ≥ 0 существует ⟺ 3 − 3a2 ≥ 0 ⟺ |a| ≤ 1.
Ответ: [−1; 1].
Слева u = 3 + |x + a| ≥ 3, поэтому φ(u) ≥ 18 > 0. Значит и правая часть положительна, откуда v = 6 − x2 − 2ax − 4a2 > 1, а на промежутке 23; +∞ функция φ обратима — остаётся u = v.
Заметим, что −x2 − 2ax − 4a2 = −(x + a)2 − 3a2. Обозначим y = |x + a| ≥ 0: 3 + y = 6 − y2 − 3a2, то есть y2 + y + 3a2 − 3 = 0.
Функция y2 + y возрастает при y ≥ 0 и равна нулю в нуле, поэтому подходящий y ≥ 0 существует ⟺ 3 − 3a2 ≥ 0 ⟺ |a| ≤ 1.
Ответ: [−1; 1].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(2 + |x + a|)3 − (2 + |x + a|)2 = 18 − x2 − 2ax − 5a23 − 18 − x2 − 2ax − 5a22
имеет хотя бы один корень.
(2 + |x + a|)3 − (2 + |x + a|)2 = 18 − x2 − 2ax − 5a23 − 18 − x2 − 2ax − 5a22
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−2; 2]
Решение
Обе части — значения функции φ(u) = u3 − u2. Она возрастает при u ≥ 23 (φ′(u) = u(3u − 2)) и неположительна при u ≤ 1.
Слева u = 2 + |x + a| ≥ 2, поэтому φ(u) ≥ 4 > 0. Значит и правая часть положительна, откуда v = 18 − x2 − 2ax − 5a2 > 1, а на промежутке 23; +∞ функция φ обратима — остаётся u = v.
Заметим, что −x2 − 2ax − 5a2 = −(x + a)2 − 4a2. Обозначим y = |x + a| ≥ 0: 2 + y = 18 − y2 − 4a2, то есть y2 + y + 4a2 − 16 = 0.
Функция y2 + y возрастает при y ≥ 0 и равна нулю в нуле, поэтому подходящий y ≥ 0 существует ⟺ 16 − 4a2 ≥ 0 ⟺ |a| ≤ 2.
Ответ: [−2; 2].
Слева u = 2 + |x + a| ≥ 2, поэтому φ(u) ≥ 4 > 0. Значит и правая часть положительна, откуда v = 18 − x2 − 2ax − 5a2 > 1, а на промежутке 23; +∞ функция φ обратима — остаётся u = v.
Заметим, что −x2 − 2ax − 5a2 = −(x + a)2 − 4a2. Обозначим y = |x + a| ≥ 0: 2 + y = 18 − y2 − 4a2, то есть y2 + y + 4a2 − 16 = 0.
Функция y2 + y возрастает при y ≥ 0 и равна нулю в нуле, поэтому подходящий y ≥ 0 существует ⟺ 16 − 4a2 ≥ 0 ⟺ |a| ≤ 2.
Ответ: [−2; 2].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(2 + |x + a|)3 − (2 + |x + a|)2 = 38 − x2 − 2ax − 5a23 − 38 − x2 − 2ax − 5a22
имеет хотя бы один корень.
(2 + |x + a|)3 − (2 + |x + a|)2 = 38 − x2 − 2ax − 5a23 − 38 − x2 − 2ax − 5a22
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−3; 3]
Решение
Обе части — значения функции φ(u) = u3 − u2. Она возрастает при u ≥ 23 (φ′(u) = u(3u − 2)) и неположительна при u ≤ 1.
Слева u = 2 + |x + a| ≥ 2, поэтому φ(u) ≥ 4 > 0. Значит и правая часть положительна, откуда v = 38 − x2 − 2ax − 5a2 > 1, а на промежутке 23; +∞ функция φ обратима — остаётся u = v.
Заметим, что −x2 − 2ax − 5a2 = −(x + a)2 − 4a2. Обозначим y = |x + a| ≥ 0: 2 + y = 38 − y2 − 4a2, то есть y2 + y + 4a2 − 36 = 0.
Функция y2 + y возрастает при y ≥ 0 и равна нулю в нуле, поэтому подходящий y ≥ 0 существует ⟺ 36 − 4a2 ≥ 0 ⟺ |a| ≤ 3.
Ответ: [−3; 3].
Слева u = 2 + |x + a| ≥ 2, поэтому φ(u) ≥ 4 > 0. Значит и правая часть положительна, откуда v = 38 − x2 − 2ax − 5a2 > 1, а на промежутке 23; +∞ функция φ обратима — остаётся u = v.
Заметим, что −x2 − 2ax − 5a2 = −(x + a)2 − 4a2. Обозначим y = |x + a| ≥ 0: 2 + y = 38 − y2 − 4a2, то есть y2 + y + 4a2 − 36 = 0.
Функция y2 + y возрастает при y ≥ 0 и равна нулю в нуле, поэтому подходящий y ≥ 0 существует ⟺ 36 − 4a2 ≥ 0 ⟺ |a| ≤ 3.
Ответ: [−3; 3].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(2 + |x + a|)3 − (2 + |x + a|)2 = 5 − x2 − 2ax − 4a23 − 5 − x2 − 2ax − 4a22
имеет хотя бы один корень.
(2 + |x + a|)3 − (2 + |x + a|)2 = 5 − x2 − 2ax − 4a23 − 5 − x2 − 2ax − 4a22
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−1; 1]
Решение
Обе части — значения функции φ(u) = u3 − u2. Она возрастает при u ≥ 23 (φ′(u) = u(3u − 2)) и неположительна при u ≤ 1.
Слева u = 2 + |x + a| ≥ 2, поэтому φ(u) ≥ 4 > 0. Значит и правая часть положительна, откуда v = 5 − x2 − 2ax − 4a2 > 1, а на промежутке 23; +∞ функция φ обратима — остаётся u = v.
Заметим, что −x2 − 2ax − 4a2 = −(x + a)2 − 3a2. Обозначим y = |x + a| ≥ 0: 2 + y = 5 − y2 − 3a2, то есть y2 + y + 3a2 − 3 = 0.
Функция y2 + y возрастает при y ≥ 0 и равна нулю в нуле, поэтому подходящий y ≥ 0 существует ⟺ 3 − 3a2 ≥ 0 ⟺ |a| ≤ 1.
Ответ: [−1; 1].
Слева u = 2 + |x + a| ≥ 2, поэтому φ(u) ≥ 4 > 0. Значит и правая часть положительна, откуда v = 5 − x2 − 2ax − 4a2 > 1, а на промежутке 23; +∞ функция φ обратима — остаётся u = v.
Заметим, что −x2 − 2ax − 4a2 = −(x + a)2 − 3a2. Обозначим y = |x + a| ≥ 0: 2 + y = 5 − y2 − 3a2, то есть y2 + y + 3a2 − 3 = 0.
Функция y2 + y возрастает при y ≥ 0 и равна нулю в нуле, поэтому подходящий y ≥ 0 существует ⟺ 3 − 3a2 ≥ 0 ⟺ |a| ≤ 1.
Ответ: [−1; 1].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.