Хотя бы один корень: cos²ⁿx+(k cos x−a)ⁿ+cos²x+k cos x = a — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Монотонная замена φ(t) = tⁿ + ct. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
cos18x + (6cos x − a)9 + cos2x + 6cos x = a
имеет хотя бы один корень.
cos18x + (6cos x − a)9 + cos2x + 6cos x = a
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−5; 7]
Решение
Так как cos18x = cos2x9, а 6cos x − a — это ровно то выражение, что стоит в скобках, уравнение имеет вид φ(cos2x) + φ(6cos x − a) = 0, где φ(t) = t9 + t.
Функция φ возрастает и нечётна, поэтому cos2x = a − 6cos x.
Обозначим c = cos x ∈ [−1; 1]: уравнение принимает вид c2 + 6c = a. Функция c2 + 6c на отрезке [−1; 1] возрастает (вершина параболы c = −3 лежит левее).
Её множество значений на этом отрезке — [−5; 7]; при таких a корень есть, при остальных — нет.
Ответ: [−5; 7].
Функция φ возрастает и нечётна, поэтому cos2x = a − 6cos x.
Обозначим c = cos x ∈ [−1; 1]: уравнение принимает вид c2 + 6c = a. Функция c2 + 6c на отрезке [−1; 1] возрастает (вершина параболы c = −3 лежит левее).
Её множество значений на этом отрезке — [−5; 7]; при таких a корень есть, при остальных — нет.
Ответ: [−5; 7].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
cos10x + (5cos x − a)5 + cos2x + 5cos x = a
имеет хотя бы один корень.
cos10x + (5cos x − a)5 + cos2x + 5cos x = a
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−4; 6]
Решение
Так как cos10x = cos2x5, а 5cos x − a — это ровно то выражение, что стоит в скобках, уравнение имеет вид φ(cos2x) + φ(5cos x − a) = 0, где φ(t) = t5 + t.
Функция φ возрастает и нечётна, поэтому cos2x = a − 5cos x.
Обозначим c = cos x ∈ [−1; 1]: уравнение принимает вид c2 + 5c = a. Функция c2 + 5c на отрезке [−1; 1] возрастает (вершина параболы c = −5/2 лежит левее).
Её множество значений на этом отрезке — [−4; 6]; при таких a корень есть, при остальных — нет.
Ответ: [−4; 6].
Функция φ возрастает и нечётна, поэтому cos2x = a − 5cos x.
Обозначим c = cos x ∈ [−1; 1]: уравнение принимает вид c2 + 5c = a. Функция c2 + 5c на отрезке [−1; 1] возрастает (вершина параболы c = −5/2 лежит левее).
Её множество значений на этом отрезке — [−4; 6]; при таких a корень есть, при остальных — нет.
Ответ: [−4; 6].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
cos10x + (6cos x − a)5 + cos2x + 6cos x = a
имеет хотя бы один корень.
cos10x + (6cos x − a)5 + cos2x + 6cos x = a
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−5; 7]
Решение
Так как cos10x = cos2x5, а 6cos x − a — это ровно то выражение, что стоит в скобках, уравнение имеет вид φ(cos2x) + φ(6cos x − a) = 0, где φ(t) = t5 + t.
Функция φ возрастает и нечётна, поэтому cos2x = a − 6cos x.
Обозначим c = cos x ∈ [−1; 1]: уравнение принимает вид c2 + 6c = a. Функция c2 + 6c на отрезке [−1; 1] возрастает (вершина параболы c = −3 лежит левее).
Её множество значений на этом отрезке — [−5; 7]; при таких a корень есть, при остальных — нет.
Ответ: [−5; 7].
Функция φ возрастает и нечётна, поэтому cos2x = a − 6cos x.
Обозначим c = cos x ∈ [−1; 1]: уравнение принимает вид c2 + 6c = a. Функция c2 + 6c на отрезке [−1; 1] возрастает (вершина параболы c = −3 лежит левее).
Её множество значений на этом отрезке — [−5; 7]; при таких a корень есть, при остальных — нет.
Ответ: [−5; 7].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
cos18x + (5cos x − a)9 + cos2x + 5cos x = a
имеет хотя бы один корень.
cos18x + (5cos x − a)9 + cos2x + 5cos x = a
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−4; 6]
Решение
Так как cos18x = cos2x9, а 5cos x − a — это ровно то выражение, что стоит в скобках, уравнение имеет вид φ(cos2x) + φ(5cos x − a) = 0, где φ(t) = t9 + t.
Функция φ возрастает и нечётна, поэтому cos2x = a − 5cos x.
Обозначим c = cos x ∈ [−1; 1]: уравнение принимает вид c2 + 5c = a. Функция c2 + 5c на отрезке [−1; 1] возрастает (вершина параболы c = −5/2 лежит левее).
Её множество значений на этом отрезке — [−4; 6]; при таких a корень есть, при остальных — нет.
Ответ: [−4; 6].
Функция φ возрастает и нечётна, поэтому cos2x = a − 5cos x.
Обозначим c = cos x ∈ [−1; 1]: уравнение принимает вид c2 + 5c = a. Функция c2 + 5c на отрезке [−1; 1] возрастает (вершина параболы c = −5/2 лежит левее).
Её множество значений на этом отрезке — [−4; 6]; при таких a корень есть, при остальных — нет.
Ответ: [−4; 6].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
cos10x + (2cos x − a)5 + cos2x + 2cos x = a
имеет хотя бы один корень.
cos10x + (2cos x − a)5 + cos2x + 2cos x = a
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−1; 3]
Решение
Так как cos10x = cos2x5, а 2cos x − a — это ровно то выражение, что стоит в скобках, уравнение имеет вид φ(cos2x) + φ(2cos x − a) = 0, где φ(t) = t5 + t.
Функция φ возрастает и нечётна, поэтому cos2x = a − 2cos x.
Обозначим c = cos x ∈ [−1; 1]: уравнение принимает вид c2 + 2c = a. Функция c2 + 2c на отрезке [−1; 1] возрастает (вершина параболы c = −1 лежит левее).
Её множество значений на этом отрезке — [−1; 3]; при таких a корень есть, при остальных — нет.
Ответ: [−1; 3].
Функция φ возрастает и нечётна, поэтому cos2x = a − 2cos x.
Обозначим c = cos x ∈ [−1; 1]: уравнение принимает вид c2 + 2c = a. Функция c2 + 2c на отрезке [−1; 1] возрастает (вершина параболы c = −1 лежит левее).
Её множество значений на этом отрезке — [−1; 3]; при таких a корень есть, при остальных — нет.
Ответ: [−1; 3].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.