Хотя бы один корень: |kx+a²/x+c| + |kx+a²/x−d| = c+d — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Показательные и модульные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x + a2x + 1| + |x + a2x − 4| = 5
имеет хотя бы один корень.
|x + a2x + 1| + |x + a2x − 4| = 5
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−2; 2]
Решение
Обозначим u = x + a2/x. Сумма |u + 1| + |u − 4| равна расстоянию между точками −1 и 4, то есть 5, ровно тогда, когда u лежит НА отрезке [−1; 4] (вне него сумма больше).
При a ≠ 0 и x > 0 по неравенству о среднем x + a2/x ≥ 2|a| (равенство при x = |a|/1), а при x < 0 симметрично u ≤ −2|a|.
Значит подходящее u существует ⟺ 2|a| ≤ 4 (наибольший из концов отрезка).
Ответ: [−2; 2].
При a ≠ 0 и x > 0 по неравенству о среднем x + a2/x ≥ 2|a| (равенство при x = |a|/1), а при x < 0 симметрично u ≤ −2|a|.
Значит подходящее u существует ⟺ 2|a| ≤ 4 (наибольший из концов отрезка).
Ответ: [−2; 2].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|4x + a2x + 6| + |4x + a2x − 6| = 12
имеет хотя бы один корень.
|4x + a2x + 6| + |4x + a2x − 6| = 12
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−3/2; 3/2]
Решение
Обозначим u = 4x + a2/x. Сумма |u + 6| + |u − 6| равна расстоянию между точками −6 и 6, то есть 12, ровно тогда, когда u лежит НА отрезке [−6; 6] (вне него сумма больше).
При a ≠ 0 и x > 0 по неравенству о среднем 4x + a2/x ≥ 2|a|·2 (равенство при x = |a|/2), а при x < 0 симметрично u ≤ −2|a|·2.
Значит подходящее u существует ⟺ 2|a|·2 ≤ 6 (наибольший из концов отрезка).
Ответ: [−3/2; 3/2].
При a ≠ 0 и x > 0 по неравенству о среднем 4x + a2/x ≥ 2|a|·2 (равенство при x = |a|/2), а при x < 0 симметрично u ≤ −2|a|·2.
Значит подходящее u существует ⟺ 2|a|·2 ≤ 6 (наибольший из концов отрезка).
Ответ: [−3/2; 3/2].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|9x + a2x + 4| + |9x + a2x − 3| = 7
имеет хотя бы один корень.
|9x + a2x + 4| + |9x + a2x − 3| = 7
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−2/3; 2/3]
Решение
Обозначим u = 9x + a2/x. Сумма |u + 4| + |u − 3| равна расстоянию между точками −4 и 3, то есть 7, ровно тогда, когда u лежит НА отрезке [−4; 3] (вне него сумма больше).
При a ≠ 0 и x > 0 по неравенству о среднем 9x + a2/x ≥ 2|a|·3 (равенство при x = |a|/3), а при x < 0 симметрично u ≤ −2|a|·3.
Значит подходящее u существует ⟺ 2|a|·3 ≤ 4 (наибольший из концов отрезка).
Ответ: [−2/3; 2/3].
При a ≠ 0 и x > 0 по неравенству о среднем 9x + a2/x ≥ 2|a|·3 (равенство при x = |a|/3), а при x < 0 симметрично u ≤ −2|a|·3.
Значит подходящее u существует ⟺ 2|a|·3 ≤ 4 (наибольший из концов отрезка).
Ответ: [−2/3; 2/3].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|9x + a2x + 1| + |9x + a2x − 3| = 4
имеет хотя бы один корень.
|9x + a2x + 1| + |9x + a2x − 3| = 4
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−1/2; 1/2]
Решение
Обозначим u = 9x + a2/x. Сумма |u + 1| + |u − 3| равна расстоянию между точками −1 и 3, то есть 4, ровно тогда, когда u лежит НА отрезке [−1; 3] (вне него сумма больше).
При a ≠ 0 и x > 0 по неравенству о среднем 9x + a2/x ≥ 2|a|·3 (равенство при x = |a|/3), а при x < 0 симметрично u ≤ −2|a|·3.
Значит подходящее u существует ⟺ 2|a|·3 ≤ 3 (наибольший из концов отрезка).
Ответ: [−1/2; 1/2].
При a ≠ 0 и x > 0 по неравенству о среднем 9x + a2/x ≥ 2|a|·3 (равенство при x = |a|/3), а при x < 0 симметрично u ≤ −2|a|·3.
Значит подходящее u существует ⟺ 2|a|·3 ≤ 3 (наибольший из концов отрезка).
Ответ: [−1/2; 1/2].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|9x + a2x + 6| + |9x + a2x − 1| = 7
имеет хотя бы один корень.
|9x + a2x + 6| + |9x + a2x − 1| = 7
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−1; 1]
Решение
Обозначим u = 9x + a2/x. Сумма |u + 6| + |u − 1| равна расстоянию между точками −6 и 1, то есть 7, ровно тогда, когда u лежит НА отрезке [−6; 1] (вне него сумма больше).
При a ≠ 0 и x > 0 по неравенству о среднем 9x + a2/x ≥ 2|a|·3 (равенство при x = |a|/3), а при x < 0 симметрично u ≤ −2|a|·3.
Значит подходящее u существует ⟺ 2|a|·3 ≤ 6 (наибольший из концов отрезка).
Ответ: [−1; 1].
При a ≠ 0 и x > 0 по неравенству о среднем 9x + a2/x ≥ 2|a|·3 (равенство при x = |a|/3), а при x < 0 симметрично u ≤ −2|a|·3.
Значит подходящее u существует ⟺ 2|a|·3 ≤ 6 (наибольший из концов отрезка).
Ответ: [−1; 1].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.