Хотя бы один корень: (p·cos x−c−a)cos x − q·cos2x + r = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Тригонометрия с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(7cos x − 3 − a)·cos x − 4cos 2x − 1 = 0
имеет хотя бы один корень.
(7cos x − 3 − a)·cos x − 4cos 2x − 1 = 0
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
(−∞; −5] ∪ [−1; +∞)
Решение
Обозначим u = cos x ∈ [−1; 1] и воспользуемся cos 2x = 2u2 − 1:
(7u − 3 − a)u − 4(2u2 − 1) − 1 = −u2 − (3 + a)u + 3 = 0, то есть u2 + (3 + a)u − 3 = 0.
Свободный член равен −3 < 0, поэтому корни всегда есть и лежат по разные стороны от нуля; в частности f(0) = −3 < 0.
Тогда корень попадает на [−1; 1] ровно тогда, когда f(−1) ≥ 0 или f(1) ≥ 0, то есть −2 − 3 − a ≥ 0 или a + 3 − 2 ≥ 0.
Каждое подходящее u даёт хотя бы один x.
Ответ: (−∞; −5] ∪ [−1; +∞).
(7u − 3 − a)u − 4(2u2 − 1) − 1 = −u2 − (3 + a)u + 3 = 0, то есть u2 + (3 + a)u − 3 = 0.
Свободный член равен −3 < 0, поэтому корни всегда есть и лежат по разные стороны от нуля; в частности f(0) = −3 < 0.
Тогда корень попадает на [−1; 1] ровно тогда, когда f(−1) ≥ 0 или f(1) ≥ 0, то есть −2 − 3 − a ≥ 0 или a + 3 − 2 ≥ 0.
Каждое подходящее u даёт хотя бы один x.
Ответ: (−∞; −5] ∪ [−1; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(5cos x − 4 − a)·cos x − 3cos 2x + 3 = 0
имеет хотя бы один корень.
(5cos x − 4 − a)·cos x − 3cos 2x + 3 = 0
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
(−∞; −9] ∪ [1; +∞)
Решение
Обозначим u = cos x ∈ [−1; 1] и воспользуемся cos 2x = 2u2 − 1:
(5u − 4 − a)u − 3(2u2 − 1) + 3 = −u2 − (4 + a)u + 6 = 0, то есть u2 + (4 + a)u − 6 = 0.
Свободный член равен −6 < 0, поэтому корни всегда есть и лежат по разные стороны от нуля; в частности f(0) = −6 < 0.
Тогда корень попадает на [−1; 1] ровно тогда, когда f(−1) ≥ 0 или f(1) ≥ 0, то есть −5 − 4 − a ≥ 0 или a + 4 − 5 ≥ 0.
Каждое подходящее u даёт хотя бы один x.
Ответ: (−∞; −9] ∪ [1; +∞).
(5u − 4 − a)u − 3(2u2 − 1) + 3 = −u2 − (4 + a)u + 6 = 0, то есть u2 + (4 + a)u − 6 = 0.
Свободный член равен −6 < 0, поэтому корни всегда есть и лежат по разные стороны от нуля; в частности f(0) = −6 < 0.
Тогда корень попадает на [−1; 1] ровно тогда, когда f(−1) ≥ 0 или f(1) ≥ 0, то есть −5 − 4 − a ≥ 0 или a + 4 − 5 ≥ 0.
Каждое подходящее u даёт хотя бы один x.
Ответ: (−∞; −9] ∪ [1; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(3cos x − 5 − a)·cos x − 2cos 2x + 2 = 0
имеет хотя бы один корень.
(3cos x − 5 − a)·cos x − 2cos 2x + 2 = 0
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
(−∞; −8] ∪ [−2; +∞)
Решение
Обозначим u = cos x ∈ [−1; 1] и воспользуемся cos 2x = 2u2 − 1:
(3u − 5 − a)u − 2(2u2 − 1) + 2 = −u2 − (5 + a)u + 4 = 0, то есть u2 + (5 + a)u − 4 = 0.
Свободный член равен −4 < 0, поэтому корни всегда есть и лежат по разные стороны от нуля; в частности f(0) = −4 < 0.
Тогда корень попадает на [−1; 1] ровно тогда, когда f(−1) ≥ 0 или f(1) ≥ 0, то есть −3 − 5 − a ≥ 0 или a + 5 − 3 ≥ 0.
Каждое подходящее u даёт хотя бы один x.
Ответ: (−∞; −8] ∪ [−2; +∞).
(3u − 5 − a)u − 2(2u2 − 1) + 2 = −u2 − (5 + a)u + 4 = 0, то есть u2 + (5 + a)u − 4 = 0.
Свободный член равен −4 < 0, поэтому корни всегда есть и лежат по разные стороны от нуля; в частности f(0) = −4 < 0.
Тогда корень попадает на [−1; 1] ровно тогда, когда f(−1) ≥ 0 или f(1) ≥ 0, то есть −3 − 5 − a ≥ 0 или a + 5 − 3 ≥ 0.
Каждое подходящее u даёт хотя бы один x.
Ответ: (−∞; −8] ∪ [−2; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(7cos x − 2 − a)·cos x − 4cos 2x = 0
имеет хотя бы один корень.
(7cos x − 2 − a)·cos x − 4cos 2x = 0
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
(−∞; −5] ∪ [1; +∞)
Решение
Обозначим u = cos x ∈ [−1; 1] и воспользуемся cos 2x = 2u2 − 1:
(7u − 2 − a)u − 4(2u2 − 1) = −u2 − (2 + a)u + 4 = 0, то есть u2 + (2 + a)u − 4 = 0.
Свободный член равен −4 < 0, поэтому корни всегда есть и лежат по разные стороны от нуля; в частности f(0) = −4 < 0.
Тогда корень попадает на [−1; 1] ровно тогда, когда f(−1) ≥ 0 или f(1) ≥ 0, то есть −3 − 2 − a ≥ 0 или a + 2 − 3 ≥ 0.
Каждое подходящее u даёт хотя бы один x.
Ответ: (−∞; −5] ∪ [1; +∞).
(7u − 2 − a)u − 4(2u2 − 1) = −u2 − (2 + a)u + 4 = 0, то есть u2 + (2 + a)u − 4 = 0.
Свободный член равен −4 < 0, поэтому корни всегда есть и лежат по разные стороны от нуля; в частности f(0) = −4 < 0.
Тогда корень попадает на [−1; 1] ровно тогда, когда f(−1) ≥ 0 или f(1) ≥ 0, то есть −3 − 2 − a ≥ 0 или a + 2 − 3 ≥ 0.
Каждое подходящее u даёт хотя бы один x.
Ответ: (−∞; −5] ∪ [1; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(7cos x − 2 − a)·cos x − 4cos 2x − 1 = 0
имеет хотя бы один корень.
(7cos x − 2 − a)·cos x − 4cos 2x − 1 = 0
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
(−∞; −4] ∪ [0; +∞)
Решение
Обозначим u = cos x ∈ [−1; 1] и воспользуемся cos 2x = 2u2 − 1:
(7u − 2 − a)u − 4(2u2 − 1) − 1 = −u2 − (2 + a)u + 3 = 0, то есть u2 + (2 + a)u − 3 = 0.
Свободный член равен −3 < 0, поэтому корни всегда есть и лежат по разные стороны от нуля; в частности f(0) = −3 < 0.
Тогда корень попадает на [−1; 1] ровно тогда, когда f(−1) ≥ 0 или f(1) ≥ 0, то есть −2 − 2 − a ≥ 0 или a + 2 − 2 ≥ 0.
Каждое подходящее u даёт хотя бы один x.
Ответ: (−∞; −4] ∪ [0; +∞).
(7u − 2 − a)u − 4(2u2 − 1) − 1 = −u2 − (2 + a)u + 3 = 0, то есть u2 + (2 + a)u − 3 = 0.
Свободный член равен −3 < 0, поэтому корни всегда есть и лежат по разные стороны от нуля; в частности f(0) = −3 < 0.
Тогда корень попадает на [−1; 1] ровно тогда, когда f(−1) ≥ 0 или f(1) ≥ 0, то есть −2 − 2 − a ≥ 0 или a + 2 − 2 ≥ 0.
Каждое подходящее u даёт хотя бы один x.
Ответ: (−∞; −4] ∪ [0; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.