Хотя бы один корень: (px−x²)² − c√(px−x²) = a²−qa — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Иррациональные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2x − x22 − 23 = a2 − 13a
имеет хотя бы один корень.
2x − x22 − 23 = a2 − 13a
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[0; 2] ∪ [11; 13]
Решение
Обозначим u = √(2x − x2) ≥ 0. Выражение 2x − x2 = 1 − (x − 1)2 не превосходит 1, поэтому u пробегает отрезок [0; 1], причём каждому u ∈ (0; 1) отвечают ДВА значения x, а u = 1 — одно (x = 1).
Левая часть равна g(u) = u4 − 23u. Её производная 4u3 − 23 на отрезке [0; 1] не положительна (23 ≥ 4), значит g убывает от g(0) = 0 до g(1) = −22.
Поэтому корень существует ⟺ −22 ≤ a2 − 13a ≤ 0.
Неравенство a2 − 13a ≤ 0 даёт отрезок между 0 и 13, а a2 − 13a ≥ −22 выкалывает из него середину.
Ответ: [0; 2] ∪ [11; 13].
Левая часть равна g(u) = u4 − 23u. Её производная 4u3 − 23 на отрезке [0; 1] не положительна (23 ≥ 4), значит g убывает от g(0) = 0 до g(1) = −22.
Поэтому корень существует ⟺ −22 ≤ a2 − 13a ≤ 0.
Неравенство a2 − 13a ≤ 0 даёт отрезок между 0 и 13, а a2 − 13a ≥ −22 выкалывает из него середину.
Ответ: [0; 2] ∪ [11; 13].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2x − x22 − 13 = a2 − 7a
имеет хотя бы один корень.
2x − x22 − 13 = a2 − 7a
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[0; 3] ∪ [4; 7]
Решение
Обозначим u = √(2x − x2) ≥ 0. Выражение 2x − x2 = 1 − (x − 1)2 не превосходит 1, поэтому u пробегает отрезок [0; 1], причём каждому u ∈ (0; 1) отвечают ДВА значения x, а u = 1 — одно (x = 1).
Левая часть равна g(u) = u4 − 13u. Её производная 4u3 − 13 на отрезке [0; 1] не положительна (13 ≥ 4), значит g убывает от g(0) = 0 до g(1) = −12.
Поэтому корень существует ⟺ −12 ≤ a2 − 7a ≤ 0.
Неравенство a2 − 7a ≤ 0 даёт отрезок между 0 и 7, а a2 − 7a ≥ −12 выкалывает из него середину.
Ответ: [0; 3] ∪ [4; 7].
Левая часть равна g(u) = u4 − 13u. Её производная 4u3 − 13 на отрезке [0; 1] не положительна (13 ≥ 4), значит g убывает от g(0) = 0 до g(1) = −12.
Поэтому корень существует ⟺ −12 ≤ a2 − 7a ≤ 0.
Неравенство a2 − 7a ≤ 0 даёт отрезок между 0 и 7, а a2 − 7a ≥ −12 выкалывает из него середину.
Ответ: [0; 3] ∪ [4; 7].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2x − x22 − 29 = a2 − 11a
имеет хотя бы один корень.
2x − x22 − 29 = a2 − 11a
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[0; 4] ∪ [7; 11]
Решение
Обозначим u = √(2x − x2) ≥ 0. Выражение 2x − x2 = 1 − (x − 1)2 не превосходит 1, поэтому u пробегает отрезок [0; 1], причём каждому u ∈ (0; 1) отвечают ДВА значения x, а u = 1 — одно (x = 1).
Левая часть равна g(u) = u4 − 29u. Её производная 4u3 − 29 на отрезке [0; 1] не положительна (29 ≥ 4), значит g убывает от g(0) = 0 до g(1) = −28.
Поэтому корень существует ⟺ −28 ≤ a2 − 11a ≤ 0.
Неравенство a2 − 11a ≤ 0 даёт отрезок между 0 и 11, а a2 − 11a ≥ −28 выкалывает из него середину.
Ответ: [0; 4] ∪ [7; 11].
Левая часть равна g(u) = u4 − 29u. Её производная 4u3 − 29 на отрезке [0; 1] не положительна (29 ≥ 4), значит g убывает от g(0) = 0 до g(1) = −28.
Поэтому корень существует ⟺ −28 ≤ a2 − 11a ≤ 0.
Неравенство a2 − 11a ≤ 0 даёт отрезок между 0 и 11, а a2 − 11a ≥ −28 выкалывает из него середину.
Ответ: [0; 4] ∪ [7; 11].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4x − x22 − 33 = a2 − 15a
имеет хотя бы один корень.
4x − x22 − 33 = a2 − 15a
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[0; 5] ∪ [10; 15]
Решение
Обозначим u = √(4x − x2) ≥ 0. Выражение 4x − x2 = 4 − (x − 2)2 не превосходит 4, поэтому u пробегает отрезок [0; 2], причём каждому u ∈ (0; 2) отвечают ДВА значения x, а u = 2 — одно (x = 2).
Левая часть равна g(u) = u4 − 33u. Её производная 4u3 − 33 на отрезке [0; 2] не положительна (33 ≥ 32), значит g убывает от g(0) = 0 до g(2) = −50.
Поэтому корень существует ⟺ −50 ≤ a2 − 15a ≤ 0.
Неравенство a2 − 15a ≤ 0 даёт отрезок между 0 и 15, а a2 − 15a ≥ −50 выкалывает из него середину.
Ответ: [0; 5] ∪ [10; 15].
Левая часть равна g(u) = u4 − 33u. Её производная 4u3 − 33 на отрезке [0; 2] не положительна (33 ≥ 32), значит g убывает от g(0) = 0 до g(2) = −50.
Поэтому корень существует ⟺ −50 ≤ a2 − 15a ≤ 0.
Неравенство a2 − 15a ≤ 0 даёт отрезок между 0 и 15, а a2 − 15a ≥ −50 выкалывает из него середину.
Ответ: [0; 5] ∪ [10; 15].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2x − x22 − 33 = a2 + 12a
имеет хотя бы один корень.
2x − x22 − 33 = a2 + 12a
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−12; −8] ∪ [−4; 0]
Решение
Обозначим u = √(2x − x2) ≥ 0. Выражение 2x − x2 = 1 − (x − 1)2 не превосходит 1, поэтому u пробегает отрезок [0; 1], причём каждому u ∈ (0; 1) отвечают ДВА значения x, а u = 1 — одно (x = 1).
Левая часть равна g(u) = u4 − 33u. Её производная 4u3 − 33 на отрезке [0; 1] не положительна (33 ≥ 4), значит g убывает от g(0) = 0 до g(1) = −32.
Поэтому корень существует ⟺ −32 ≤ a2 + 12a ≤ 0.
Неравенство a2 + 12a ≤ 0 даёт отрезок между 0 и -12, а a2 + 12a ≥ −32 выкалывает из него середину.
Ответ: [−12; −8] ∪ [−4; 0].
Левая часть равна g(u) = u4 − 33u. Её производная 4u3 − 33 на отрезке [0; 1] не положительна (33 ≥ 4), значит g убывает от g(0) = 0 до g(1) = −32.
Поэтому корень существует ⟺ −32 ≤ a2 + 12a ≤ 0.
Неравенство a2 + 12a ≤ 0 даёт отрезок между 0 и -12, а a2 + 12a ≥ −32 выкалывает из него середину.
Ответ: [−12; −8] ∪ [−4; 0].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.