Хотя бы один корень: √(x+pa+c) + √(x−a) = m — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Иррациональные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ = 2
имеет хотя бы один корень.
+ = 2
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−3/2; 1/2]
Решение
Обозначим u = √(x − a) ≥ 0. Тогда x + 3a + 2 = u2 + 4a + 2, и уравнение принимает вид √(u2 + K) = 2 − u, где K = 4a + 2.
Отсюда сразу u ≤ 2, а после возведения в квадрат u2 сокращается: K = 4 − 4u, то есть u = 4 − K4 — значение ЕДИНСТВЕННОЕ.
Корень x = u2 + a существует ровно тогда, когда 0 ≤ u ≤ 2, то есть −4 ≤ K ≤ 4.
Решая −4 ≤ 4a + 2 ≤ 4, получаем ответ.
Ответ: [−3/2; 1/2].
Отсюда сразу u ≤ 2, а после возведения в квадрат u2 сокращается: K = 4 − 4u, то есть u = 4 − K4 — значение ЕДИНСТВЕННОЕ.
Корень x = u2 + a существует ровно тогда, когда 0 ≤ u ≤ 2, то есть −4 ≤ K ≤ 4.
Решая −4 ≤ 4a + 2 ≤ 4, получаем ответ.
Ответ: [−3/2; 1/2].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ = 2
имеет хотя бы один корень.
+ = 2
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−2; 2/3]
Решение
Обозначим u = √(x − a) ≥ 0. Тогда x + 2a + 2 = u2 + 3a + 2, и уравнение принимает вид √(u2 + K) = 2 − u, где K = 3a + 2.
Отсюда сразу u ≤ 2, а после возведения в квадрат u2 сокращается: K = 4 − 4u, то есть u = 4 − K4 — значение ЕДИНСТВЕННОЕ.
Корень x = u2 + a существует ровно тогда, когда 0 ≤ u ≤ 2, то есть −4 ≤ K ≤ 4.
Решая −4 ≤ 3a + 2 ≤ 4, получаем ответ.
Ответ: [−2; 2/3].
Отсюда сразу u ≤ 2, а после возведения в квадрат u2 сокращается: K = 4 − 4u, то есть u = 4 − K4 — значение ЕДИНСТВЕННОЕ.
Корень x = u2 + a существует ровно тогда, когда 0 ≤ u ≤ 2, то есть −4 ≤ K ≤ 4.
Решая −4 ≤ 3a + 2 ≤ 4, получаем ответ.
Ответ: [−2; 2/3].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ = 2
имеет хотя бы один корень.
+ = 2
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−1; 1]
Решение
Обозначим u = √(x − a) ≥ 0. Тогда x + 3a = u2 + 4a, и уравнение принимает вид √(u2 + K) = 2 − u, где K = 4a.
Отсюда сразу u ≤ 2, а после возведения в квадрат u2 сокращается: K = 4 − 4u, то есть u = 4 − K4 — значение ЕДИНСТВЕННОЕ.
Корень x = u2 + a существует ровно тогда, когда 0 ≤ u ≤ 2, то есть −4 ≤ K ≤ 4.
Решая −4 ≤ 4a ≤ 4, получаем ответ.
Ответ: [−1; 1].
Отсюда сразу u ≤ 2, а после возведения в квадрат u2 сокращается: K = 4 − 4u, то есть u = 4 − K4 — значение ЕДИНСТВЕННОЕ.
Корень x = u2 + a существует ровно тогда, когда 0 ≤ u ≤ 2, то есть −4 ≤ K ≤ 4.
Решая −4 ≤ 4a ≤ 4, получаем ответ.
Ответ: [−1; 1].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ = 3
имеет хотя бы один корень.
+ = 3
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−11/4; 7/4]
Решение
Обозначим u = √(x − a) ≥ 0. Тогда x + 3a + 2 = u2 + 4a + 2, и уравнение принимает вид √(u2 + K) = 3 − u, где K = 4a + 2.
Отсюда сразу u ≤ 3, а после возведения в квадрат u2 сокращается: K = 9 − 6u, то есть u = 9 − K6 — значение ЕДИНСТВЕННОЕ.
Корень x = u2 + a существует ровно тогда, когда 0 ≤ u ≤ 3, то есть −9 ≤ K ≤ 9.
Решая −9 ≤ 4a + 2 ≤ 9, получаем ответ.
Ответ: [−11/4; 7/4].
Отсюда сразу u ≤ 3, а после возведения в квадрат u2 сокращается: K = 9 − 6u, то есть u = 9 − K6 — значение ЕДИНСТВЕННОЕ.
Корень x = u2 + a существует ровно тогда, когда 0 ≤ u ≤ 3, то есть −9 ≤ K ≤ 9.
Решая −9 ≤ 4a + 2 ≤ 9, получаем ответ.
Ответ: [−11/4; 7/4].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ = 3
имеет хотя бы один корень.
+ = 3
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[−4/3; 5/3]
Решение
Обозначим u = √(x − a) ≥ 0. Тогда x + 5a − 1 = u2 + 6a − 1, и уравнение принимает вид √(u2 + K) = 3 − u, где K = 6a − 1.
Отсюда сразу u ≤ 3, а после возведения в квадрат u2 сокращается: K = 9 − 6u, то есть u = 9 − K6 — значение ЕДИНСТВЕННОЕ.
Корень x = u2 + a существует ровно тогда, когда 0 ≤ u ≤ 3, то есть −9 ≤ K ≤ 9.
Решая −9 ≤ 6a − 1 ≤ 9, получаем ответ.
Ответ: [−4/3; 5/3].
Отсюда сразу u ≤ 3, а после возведения в квадрат u2 сокращается: K = 9 − 6u, то есть u = 9 − K6 — значение ЕДИНСТВЕННОЕ.
Корень x = u2 + a существует ровно тогда, когда 0 ≤ u ≤ 3, то есть −9 ≤ K ≤ 9.
Решая −9 ≤ 6a − 1 ≤ 9, получаем ответ.
Ответ: [−4/3; 5/3].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.