Хотя бы одно решение: {a(x−1)≥4; 2√(x−c)≥a; kx<a+d} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы неравенств с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
a(x − 1) ≥ 42 ≥ a2x < a + 16
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
a(x − 1) ≥ 42 ≥ a2x < a + 16
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
Показать ответ
[4/3; 2]
Решение
На отрезке [3; 4] выражение x − 1 положительно, поэтому первое неравенство при a ≤ 0 невыполнимо, а при a > 0 равносильно x ≥ 1 + 4/a.
Второе (при a > 0) равносильно x − 3 ≥ a2/4, то есть x ≥ 3 + a2/4; третье — x < (a + 16)/2.
Значит подходящие x образуют промежуток [max(3; 1 + 4/a; 3 + a2/4); min(4; (a + 16)/2)), и надо, чтобы он был непуст.
Ответ: [4/3; 2].
Второе (при a > 0) равносильно x − 3 ≥ a2/4, то есть x ≥ 3 + a2/4; третье — x < (a + 16)/2.
Значит подходящие x образуют промежуток [max(3; 1 + 4/a; 3 + a2/4); min(4; (a + 16)/2)), и надо, чтобы он был непуст.
Ответ: [4/3; 2].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
a(x − 1) ≥ 42 ≥ a2x < a + 14
имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 7].
a(x − 1) ≥ 42 ≥ a2x < a + 14
имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 7].
Показать ответ
[2/3; 4]
Решение
На отрезке [4; 7] выражение x − 1 положительно, поэтому первое неравенство при a ≤ 0 невыполнимо, а при a > 0 равносильно x ≥ 1 + 4/a.
Второе (при a > 0) равносильно x − 3 ≥ a2/4, то есть x ≥ 3 + a2/4; третье — x < (a + 14)/2.
Значит подходящие x образуют промежуток [max(4; 1 + 4/a; 3 + a2/4); min(7; (a + 14)/2)), и надо, чтобы он был непуст.
Ответ: [2/3; 4].
Второе (при a > 0) равносильно x − 3 ≥ a2/4, то есть x ≥ 3 + a2/4; третье — x < (a + 14)/2.
Значит подходящие x образуют промежуток [max(4; 1 + 4/a; 3 + a2/4); min(7; (a + 14)/2)), и надо, чтобы он был непуст.
Ответ: [2/3; 4].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
a(x − 1) ≥ 42 ≥ a3x < a + 16
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
a(x − 1) ≥ 42 ≥ a3x < a + 16
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
Показать ответ
[4/3; 2]
Решение
На отрезке [3; 4] выражение x − 1 положительно, поэтому первое неравенство при a ≤ 0 невыполнимо, а при a > 0 равносильно x ≥ 1 + 4/a.
Второе (при a > 0) равносильно x − 3 ≥ a2/4, то есть x ≥ 3 + a2/4; третье — x < (a + 16)/3.
Значит подходящие x образуют промежуток [max(3; 1 + 4/a; 3 + a2/4); min(4; (a + 16)/3)), и надо, чтобы он был непуст.
Ответ: [4/3; 2].
Второе (при a > 0) равносильно x − 3 ≥ a2/4, то есть x ≥ 3 + a2/4; третье — x < (a + 16)/3.
Значит подходящие x образуют промежуток [max(3; 1 + 4/a; 3 + a2/4); min(4; (a + 16)/3)), и надо, чтобы он был непуст.
Ответ: [4/3; 2].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
a(x − 1) ≥ 42 ≥ a2x < a + 16
имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 7].
a(x − 1) ≥ 42 ≥ a2x < a + 16
имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 7].
Показать ответ
[2/3; 4]
Решение
На отрезке [4; 7] выражение x − 1 положительно, поэтому первое неравенство при a ≤ 0 невыполнимо, а при a > 0 равносильно x ≥ 1 + 4/a.
Второе (при a > 0) равносильно x − 3 ≥ a2/4, то есть x ≥ 3 + a2/4; третье — x < (a + 16)/2.
Значит подходящие x образуют промежуток [max(4; 1 + 4/a; 3 + a2/4); min(7; (a + 16)/2)), и надо, чтобы он был непуст.
Ответ: [2/3; 4].
Второе (при a > 0) равносильно x − 3 ≥ a2/4, то есть x ≥ 3 + a2/4; третье — x < (a + 16)/2.
Значит подходящие x образуют промежуток [max(4; 1 + 4/a; 3 + a2/4); min(7; (a + 16)/2)), и надо, чтобы он был непуст.
Ответ: [2/3; 4].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
a(x − 1) ≥ 42 ≥ a3x < a + 14
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
a(x − 1) ≥ 42 ≥ a3x < a + 14
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
Показать ответ
[4/3; 2]
Решение
На отрезке [3; 4] выражение x − 1 положительно, поэтому первое неравенство при a ≤ 0 невыполнимо, а при a > 0 равносильно x ≥ 1 + 4/a.
Второе (при a > 0) равносильно x − 3 ≥ a2/4, то есть x ≥ 3 + a2/4; третье — x < (a + 14)/3.
Значит подходящие x образуют промежуток [max(3; 1 + 4/a; 3 + a2/4); min(4; (a + 14)/3)), и надо, чтобы он был непуст.
Ответ: [4/3; 2].
Второе (при a > 0) равносильно x − 3 ≥ a2/4, то есть x ≥ 3 + a2/4; третье — x < (a + 14)/3.
Значит подходящие x образуют промежуток [max(3; 1 + 4/a; 3 + a2/4); min(4; (a + 14)/3)), и надо, чтобы он был непуст.
Ответ: [4/3; 2].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.