Хотя бы одно решение: {(x+k₁a+m₁)(x+k₂a+m₂)<0; x²+a²=c²} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы неравенств с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + (3a + 4)x + 2a2 + 6a + 4 < 0x2 + a2 = 4
имеет хотя бы одно решение.
x2 + (3a + 4)x + 2a2 + 6a + 4 < 0x2 + a2 = 4
имеет хотя бы одно решение.
Показать ответ
(−2; −8/5)
Решение
Трёхчлен слева раскладывается: (x + a + 2)(x + 2a + 2) < 0, то есть x лежит строго между числами −a − 2 и −2a − 2.
Второе уравнение задаёт окружность радиуса 2 в плоскости (x; a): x = ±√(4 − a2), причём |a| ≤ 2.
Подставляя каждое из двух значений x, получаем условие на a; система разрешима, когда хотя бы одно из них выполнено.
Ответ: (−2; −8/5).
Второе уравнение задаёт окружность радиуса 2 в плоскости (x; a): x = ±√(4 − a2), причём |a| ≤ 2.
Подставляя каждое из двух значений x, получаем условие на a; система разрешима, когда хотя бы одно из них выполнено.
Ответ: (−2; −8/5).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + (3a + 3)x + 2a2 + 4a + 2 < 0x2 + a2 = 25
имеет хотя бы одно решение.
x2 + (3a + 3)x + 2a2 + 4a + 2 < 0x2 + a2 = 25
имеет хотя бы одно решение.
Показать ответ
(−4; −3) ∪ (7/5; 3)
Решение
Трёхчлен слева раскладывается: (x + a + 1)(x + 2a + 2) < 0, то есть x лежит строго между числами −a − 1 и −2a − 2.
Второе уравнение задаёт окружность радиуса 5 в плоскости (x; a): x = ±√(25 − a2), причём |a| ≤ 5.
Подставляя каждое из двух значений x, получаем условие на a; система разрешима, когда хотя бы одно из них выполнено.
Ответ: (−4; −3) ∪ (7/5; 3).
Второе уравнение задаёт окружность радиуса 5 в плоскости (x; a): x = ±√(25 − a2), причём |a| ≤ 5.
Подставляя каждое из двух значений x, получаем условие на a; система разрешима, когда хотя бы одно из них выполнено.
Ответ: (−4; −3) ∪ (7/5; 3).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + (5a + 4)x + 6a2 + 10a + 4 < 0x2 + a2 = 4
имеет хотя бы одно решение.
x2 + (5a + 4)x + 6a2 + 10a + 4 < 0x2 + a2 = 4
имеет хотя бы одно решение.
Показать ответ
(−8/5; −6/5)
Решение
Трёхчлен слева раскладывается: (x + 2a + 2)(x + 3a + 2) < 0, то есть x лежит строго между числами −2a − 2 и −3a − 2.
Второе уравнение задаёт окружность радиуса 2 в плоскости (x; a): x = ±√(4 − a2), причём |a| ≤ 2.
Подставляя каждое из двух значений x, получаем условие на a; система разрешима, когда хотя бы одно из них выполнено.
Ответ: (−8/5; −6/5).
Второе уравнение задаёт окружность радиуса 2 в плоскости (x; a): x = ±√(4 − a2), причём |a| ≤ 2.
Подставляя каждое из двух значений x, получаем условие на a; система разрешима, когда хотя бы одно из них выполнено.
Ответ: (−8/5; −6/5).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + (5a + 4)x + 4a2 + 10a + 4 < 0x2 + a2 = 4
имеет хотя бы одно решение.
x2 + (5a + 4)x + 4a2 + 10a + 4 < 0x2 + a2 = 4
имеет хотя бы одно решение.
Показать ответ
(−2; −16/17)
Решение
Трёхчлен слева раскладывается: (x + a + 2)(x + 4a + 2) < 0, то есть x лежит строго между числами −a − 2 и −4a − 2.
Второе уравнение задаёт окружность радиуса 2 в плоскости (x; a): x = ±√(4 − a2), причём |a| ≤ 2.
Подставляя каждое из двух значений x, получаем условие на a; система разрешима, когда хотя бы одно из них выполнено.
Ответ: (−2; −16/17).
Второе уравнение задаёт окружность радиуса 2 в плоскости (x; a): x = ±√(4 − a2), причём |a| ≤ 2.
Подставляя каждое из двух значений x, получаем условие на a; система разрешима, когда хотя бы одно из них выполнено.
Ответ: (−2; −16/17).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + (6a + 4)x + 8a2 + 12a + 4 < 0x2 + a2 = 4
имеет хотя бы одно решение.
x2 + (6a + 4)x + 8a2 + 12a + 4 < 0x2 + a2 = 4
имеет хотя бы одно решение.
Показать ответ
(−8/5; −16/17)
Решение
Трёхчлен слева раскладывается: (x + 2a + 2)(x + 4a + 2) < 0, то есть x лежит строго между числами −2a − 2 и −4a − 2.
Второе уравнение задаёт окружность радиуса 2 в плоскости (x; a): x = ±√(4 − a2), причём |a| ≤ 2.
Подставляя каждое из двух значений x, получаем условие на a; система разрешима, когда хотя бы одно из них выполнено.
Ответ: (−8/5; −16/17).
Второе уравнение задаёт окружность радиуса 2 в плоскости (x; a): x = ±√(4 − a2), причём |a| ≤ 2.
Подставляя каждое из двух значений x, получаем условие на a; система разрешима, когда хотя бы одно из них выполнено.
Ответ: (−8/5; −16/17).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.