Имеет решение: {(x−p)²+(y−q)²=0; a²+ax+may=K} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 + 2 = 2(x + y)a2 + ax + 2ay = 4
имеет решение.
x2 + y2 + 2 = 2(x + y)a2 + ax + 2ay = 4
имеет решение.
Показать ответ
{−4} ∪ {1}
Решение
Первое уравнение: x2 − 2x + 1 + y2 − 2y + 1 = 0, то есть (x − 1)2 + (y − 1)2 = 0.
Сумма двух квадратов равна нулю только когда каждый равен нулю, поэтому первая строка задаёт единственную точку (1; 1).
Система имеет решение ровно тогда, когда эта точка подходит и ко второму уравнению: a2 + a + 2a = 4, то есть a2 + 3a − 4 = 0.
Корни: a = 1 и a = −4.
Ответ: {−4} ∪ {1}.
Сумма двух квадратов равна нулю только когда каждый равен нулю, поэтому первая строка задаёт единственную точку (1; 1).
Система имеет решение ровно тогда, когда эта точка подходит и ко второму уравнению: a2 + a + 2a = 4, то есть a2 + 3a − 4 = 0.
Корни: a = 1 и a = −4.
Ответ: {−4} ∪ {1}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 + 18 = 2(3x + 3y)a2 + ax + 2ay = 10
имеет решение.
x2 + y2 + 18 = 2(3x + 3y)a2 + ax + 2ay = 10
имеет решение.
Показать ответ
{−10} ∪ {1}
Решение
Первое уравнение: x2 − 6x + 9 + y2 − 6y + 9 = 0, то есть (x − 3)2 + (y − 3)2 = 0.
Сумма двух квадратов равна нулю только когда каждый равен нулю, поэтому первая строка задаёт единственную точку (3; 3).
Система имеет решение ровно тогда, когда эта точка подходит и ко второму уравнению: a2 + 3a + 6a = 10, то есть a2 + 9a − 10 = 0.
Корни: a = 1 и a = −10.
Ответ: {−10} ∪ {1}.
Сумма двух квадратов равна нулю только когда каждый равен нулю, поэтому первая строка задаёт единственную точку (3; 3).
Система имеет решение ровно тогда, когда эта точка подходит и ко второму уравнению: a2 + 3a + 6a = 10, то есть a2 + 9a − 10 = 0.
Корни: a = 1 и a = −10.
Ответ: {−10} ∪ {1}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 + 5 = 2(x + 2y)a2 + ax + 2ay = 24
имеет решение.
x2 + y2 + 5 = 2(x + 2y)a2 + ax + 2ay = 24
имеет решение.
Показать ответ
{−8} ∪ {3}
Решение
Первое уравнение: x2 − 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 0, то есть (x − 1)2 + (y − 2)2 = 0.
Сумма двух квадратов равна нулю только когда каждый равен нулю, поэтому первая строка задаёт единственную точку (1; 2).
Система имеет решение ровно тогда, когда эта точка подходит и ко второму уравнению: a2 + a + 4a = 24, то есть a2 + 5a − 24 = 0.
Корни: a = 3 и a = −8.
Ответ: {−8} ∪ {3}.
Сумма двух квадратов равна нулю только когда каждый равен нулю, поэтому первая строка задаёт единственную точку (1; 2).
Система имеет решение ровно тогда, когда эта точка подходит и ко второму уравнению: a2 + a + 4a = 24, то есть a2 + 5a − 24 = 0.
Корни: a = 3 и a = −8.
Ответ: {−8} ∪ {3}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 + 13 = 2(3x + 2y)a2 + ax + 2ay = 8
имеет решение.
x2 + y2 + 13 = 2(3x + 2y)a2 + ax + 2ay = 8
имеет решение.
Показать ответ
{−8} ∪ {1}
Решение
Первое уравнение: x2 − 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = 0, то есть (x − 3)2 + (y − 2)2 = 0.
Сумма двух квадратов равна нулю только когда каждый равен нулю, поэтому первая строка задаёт единственную точку (3; 2).
Система имеет решение ровно тогда, когда эта точка подходит и ко второму уравнению: a2 + 3a + 4a = 8, то есть a2 + 7a − 8 = 0.
Корни: a = 1 и a = −8.
Ответ: {−8} ∪ {1}.
Сумма двух квадратов равна нулю только когда каждый равен нулю, поэтому первая строка задаёт единственную точку (3; 2).
Система имеет решение ровно тогда, когда эта точка подходит и ко второму уравнению: a2 + 3a + 4a = 8, то есть a2 + 7a − 8 = 0.
Корни: a = 1 и a = −8.
Ответ: {−8} ∪ {1}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 + 13 = 2(2x + 3y)a2 + ax + 2ay = 9
имеет решение.
x2 + y2 + 13 = 2(2x + 3y)a2 + ax + 2ay = 9
имеет решение.
Показать ответ
{−9} ∪ {1}
Решение
Первое уравнение: x2 − 4x + 4 + y2 − 6y + 9 = 0, то есть (x − 2)2 + (y − 3)2 = 0.
Сумма двух квадратов равна нулю только когда каждый равен нулю, поэтому первая строка задаёт единственную точку (2; 3).
Система имеет решение ровно тогда, когда эта точка подходит и ко второму уравнению: a2 + 2a + 6a = 9, то есть a2 + 8a − 9 = 0.
Корни: a = 1 и a = −9.
Ответ: {−9} ∪ {1}.
Сумма двух квадратов равна нулю только когда каждый равен нулю, поэтому первая строка задаёт единственную точку (2; 3).
Система имеет решение ровно тогда, когда эта точка подходит и ко второму уравнению: a2 + 2a + 6a = 9, то есть a2 + 8a − 9 = 0.
Корни: a = 1 и a = −9.
Ответ: {−9} ∪ {1}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.