|k·bˣ−a| − |bˣ+ma| = b²ˣ — ровно два неотрицательных решения — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Модули на полупрямой: |kt−a|−|t+ma| = t². 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|15·0,21 − x − a| − |5x + 2a| = 0,04−x
имеет ровно два неотрицательных решения.
|15·0,21 − x − a| − |5x + 2a| = 0,04−x
имеет ровно два неотрицательных решения.
Показать ответ
(−4; −3]
Решение
Заметим, что 0,21 − x = 5x − 1, поэтому 15·0,21 − x = 3·5x, а 0,04−x = 25x = 5x2.
Обозначим t = 5x; неотрицательные x — это в точности t ≥ 1. Уравнение принимает вид |3t − a| − |t + 2a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a3 и t = −2a, между ними уравнение — обычное квадратное.
Разбирая куски полупрямой [1; +∞) и следя, когда корень заходит на излом или на её начало, получаем ответ.
Ответ: (−4; −3].
Обозначим t = 5x; неотрицательные x — это в точности t ≥ 1. Уравнение принимает вид |3t − a| − |t + 2a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a3 и t = −2a, между ними уравнение — обычное квадратное.
Разбирая куски полупрямой [1; +∞) и следя, когда корень заходит на излом или на её начало, получаем ответ.
Ответ: (−4; −3].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|6·0,51 − x − a| − |2x + 3a| = 0,25−x
имеет ровно два неотрицательных решения.
|6·0,51 − x − a| − |2x + 3a| = 0,25−x
имеет ровно два неотрицательных решения.
Показать ответ
(−2; −3/2]
Решение
Заметим, что 0,51 − x = 2x − 1, поэтому 6·0,51 − x = 3·2x, а 0,25−x = 4x = 2x2.
Обозначим t = 2x; неотрицательные x — это в точности t ≥ 1. Уравнение принимает вид |3t − a| − |t + 3a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a3 и t = −3a, между ними уравнение — обычное квадратное.
Разбирая куски полупрямой [1; +∞) и следя, когда корень заходит на излом или на её начало, получаем ответ.
Ответ: (−2; −3/2].
Обозначим t = 2x; неотрицательные x — это в точности t ≥ 1. Уравнение принимает вид |3t − a| − |t + 3a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a3 и t = −3a, между ними уравнение — обычное квадратное.
Разбирая куски полупрямой [1; +∞) и следя, когда корень заходит на излом или на её начало, получаем ответ.
Ответ: (−2; −3/2].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|30·0,11 − x − a| − |10x + 3a| = 0,01−x
имеет ровно два неотрицательных решения.
|30·0,11 − x − a| − |10x + 3a| = 0,01−x
имеет ровно два неотрицательных решения.
Показать ответ
(−2; −3/2]
Решение
Заметим, что 0,11 − x = 10x − 1, поэтому 30·0,11 − x = 3·10x, а 0,01−x = 100x = 10x2.
Обозначим t = 10x; неотрицательные x — это в точности t ≥ 1. Уравнение принимает вид |3t − a| − |t + 3a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a3 и t = −3a, между ними уравнение — обычное квадратное.
Разбирая куски полупрямой [1; +∞) и следя, когда корень заходит на излом или на её начало, получаем ответ.
Ответ: (−2; −3/2].
Обозначим t = 10x; неотрицательные x — это в точности t ≥ 1. Уравнение принимает вид |3t − a| − |t + 3a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a3 и t = −3a, между ними уравнение — обычное квадратное.
Разбирая куски полупрямой [1; +∞) и следя, когда корень заходит на излом или на её начало, получаем ответ.
Ответ: (−2; −3/2].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|10·0,21 − x − a| − |5x + 2a| = 0,04−x
имеет ровно два неотрицательных решения.
|10·0,21 − x − a| − |5x + 2a| = 0,04−x
имеет ровно два неотрицательных решения.
Показать ответ
(−9/4; −2]
Решение
Заметим, что 0,21 − x = 5x − 1, поэтому 10·0,21 − x = 2·5x, а 0,04−x = 25x = 5x2.
Обозначим t = 5x; неотрицательные x — это в точности t ≥ 1. Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + 2a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −2a, между ними уравнение — обычное квадратное.
Разбирая куски полупрямой [1; +∞) и следя, когда корень заходит на излом или на её начало, получаем ответ.
Ответ: (−9/4; −2].
Обозначим t = 5x; неотрицательные x — это в точности t ≥ 1. Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + 2a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −2a, между ними уравнение — обычное квадратное.
Разбирая куски полупрямой [1; +∞) и следя, когда корень заходит на излом или на её начало, получаем ответ.
Ответ: (−9/4; −2].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|15·0,21 − x − a| − |5x + 3a| = 0,04−x
имеет ровно два неотрицательных решения.
|15·0,21 − x − a| − |5x + 3a| = 0,04−x
имеет ровно два неотрицательных решения.
Показать ответ
(−2; −3/2]
Решение
Заметим, что 0,21 − x = 5x − 1, поэтому 15·0,21 − x = 3·5x, а 0,04−x = 25x = 5x2.
Обозначим t = 5x; неотрицательные x — это в точности t ≥ 1. Уравнение принимает вид |3t − a| − |t + 3a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a3 и t = −3a, между ними уравнение — обычное квадратное.
Разбирая куски полупрямой [1; +∞) и следя, когда корень заходит на излом или на её начало, получаем ответ.
Ответ: (−2; −3/2].
Обозначим t = 5x; неотрицательные x — это в точности t ≥ 1. Уравнение принимает вид |3t − a| − |t + 3a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a3 и t = −3a, между ними уравнение — обычное квадратное.
Разбирая куски полупрямой [1; +∞) и следя, когда корень заходит на излом или на её начало, получаем ответ.
Ответ: (−2; −3/2].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.