k·sin x = m·cos x + a — единственное решение на отрезке — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Тригонометрия с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
21sin x = 20cos x + a
имеет единственное решение на отрезке 0; π2.
21sin x = 20cos x + a
имеет единственное решение на отрезке 0; π2.
Показать ответ
[−20; 21) ∪ {29}
Решение
Перепишем: 21sin x − 20cos x = a. Так как 212 + 202 = 292, левая часть равна 29sin(x − φ), где cos φ = 21/29, sin φ = 20/29 и φ ∈ (0; π/2).
На отрезке 0; π2 функция сначала возрастает от значения −20 (при x = 0) до 29 (в точке x = φ), а затем убывает до 21.
Поэтому при a < −20 и при a > 29 решений нет; при −20 ≤ a < 21 решение одно (только на возрастающей ветви); при 21 ≤ a < 29 их два; при a = 29 — снова одно (вершина).
Ответ: [−20; 21) ∪ {29}.
На отрезке 0; π2 функция сначала возрастает от значения −20 (при x = 0) до 29 (в точке x = φ), а затем убывает до 21.
Поэтому при a < −20 и при a > 29 решений нет; при −20 ≤ a < 21 решение одно (только на возрастающей ветви); при 21 ≤ a < 29 их два; при a = 29 — снова одно (вершина).
Ответ: [−20; 21) ∪ {29}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
12sin x = 5cos x + a
имеет единственное решение на отрезке 0; π2.
12sin x = 5cos x + a
имеет единственное решение на отрезке 0; π2.
Показать ответ
[−5; 12) ∪ {13}
Решение
Перепишем: 12sin x − 5cos x = a. Так как 122 + 52 = 132, левая часть равна 13sin(x − φ), где cos φ = 12/13, sin φ = 5/13 и φ ∈ (0; π/2).
На отрезке 0; π2 функция сначала возрастает от значения −5 (при x = 0) до 13 (в точке x = φ), а затем убывает до 12.
Поэтому при a < −5 и при a > 13 решений нет; при −5 ≤ a < 12 решение одно (только на возрастающей ветви); при 12 ≤ a < 13 их два; при a = 13 — снова одно (вершина).
Ответ: [−5; 12) ∪ {13}.
На отрезке 0; π2 функция сначала возрастает от значения −5 (при x = 0) до 13 (в точке x = φ), а затем убывает до 12.
Поэтому при a < −5 и при a > 13 решений нет; при −5 ≤ a < 12 решение одно (только на возрастающей ветви); при 12 ≤ a < 13 их два; при a = 13 — снова одно (вершина).
Ответ: [−5; 12) ∪ {13}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
24sin x = 7cos x + a
имеет единственное решение на отрезке 0; π2.
24sin x = 7cos x + a
имеет единственное решение на отрезке 0; π2.
Показать ответ
[−7; 24) ∪ {25}
Решение
Перепишем: 24sin x − 7cos x = a. Так как 242 + 72 = 252, левая часть равна 25sin(x − φ), где cos φ = 24/25, sin φ = 7/25 и φ ∈ (0; π/2).
На отрезке 0; π2 функция сначала возрастает от значения −7 (при x = 0) до 25 (в точке x = φ), а затем убывает до 24.
Поэтому при a < −7 и при a > 25 решений нет; при −7 ≤ a < 24 решение одно (только на возрастающей ветви); при 24 ≤ a < 25 их два; при a = 25 — снова одно (вершина).
Ответ: [−7; 24) ∪ {25}.
На отрезке 0; π2 функция сначала возрастает от значения −7 (при x = 0) до 25 (в точке x = φ), а затем убывает до 24.
Поэтому при a < −7 и при a > 25 решений нет; при −7 ≤ a < 24 решение одно (только на возрастающей ветви); при 24 ≤ a < 25 их два; при a = 25 — снова одно (вершина).
Ответ: [−7; 24) ∪ {25}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
20sin x = 21cos x + a
имеет единственное решение на отрезке [0; π].
20sin x = 21cos x + a
имеет единственное решение на отрезке [0; π].
Показать ответ
[−21; 21) ∪ {29}
Решение
Перепишем: 20sin x − 21cos x = a. Так как 202 + 212 = 292, левая часть равна 29sin(x − φ), где cos φ = 20/29, sin φ = 21/29 и φ ∈ (0; π/2).
На отрезке [0; π] функция сначала возрастает от значения −21 (при x = 0) до 29 (в точке x = φ), а затем убывает до 21.
Поэтому при a < −21 и при a > 29 решений нет; при −21 ≤ a < 21 решение одно (только на возрастающей ветви); при 21 ≤ a < 29 их два; при a = 29 — снова одно (вершина).
Ответ: [−21; 21) ∪ {29}.
На отрезке [0; π] функция сначала возрастает от значения −21 (при x = 0) до 29 (в точке x = φ), а затем убывает до 21.
Поэтому при a < −21 и при a > 29 решений нет; при −21 ≤ a < 21 решение одно (только на возрастающей ветви); при 21 ≤ a < 29 их два; при a = 29 — снова одно (вершина).
Ответ: [−21; 21) ∪ {29}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
21sin x = 20cos x + a
имеет единственное решение на отрезке [0; π].
21sin x = 20cos x + a
имеет единственное решение на отрезке [0; π].
Показать ответ
[−20; 20) ∪ {29}
Решение
Перепишем: 21sin x − 20cos x = a. Так как 212 + 202 = 292, левая часть равна 29sin(x − φ), где cos φ = 21/29, sin φ = 20/29 и φ ∈ (0; π/2).
На отрезке [0; π] функция сначала возрастает от значения −20 (при x = 0) до 29 (в точке x = φ), а затем убывает до 20.
Поэтому при a < −20 и при a > 29 решений нет; при −20 ≤ a < 20 решение одно (только на возрастающей ветви); при 20 ≤ a < 29 их два; при a = 29 — снова одно (вершина).
Ответ: [−20; 20) ∪ {29}.
На отрезке [0; π] функция сначала возрастает от значения −20 (при x = 0) до 29 (в точке x = φ), а затем убывает до 20.
Поэтому при a < −20 и при a > 29 решений нет; при −20 ≤ a < 20 решение одно (только на возрастающей ветви); при 20 ≤ a < 29 их два; при a = 29 — снова одно (вершина).
Ответ: [−20; 20) ∪ {29}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.