{ka≤x; 2mx>x²+a²; x+a≤s} — хотя бы одно решение на отрезке — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы неравенств с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
a ≤ x8x > x2 + a2x + a ≤ 5
имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].
a ≤ x8x > x2 + a2x + a ≤ 5
имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].
Показать ответ
(−4; 1]
Решение
Первое и третье неравенства задают промежуток a ≤ x ≤ 5 − a; вместе с отрезком [4; 5] получаем x ∈ [max(a; 4); min(5 − a; 5)].
Второе неравенство равносильно x2 − 8x + a2 < 0. Парабола ветвями вверх с вершиной x = 4, поэтому достаточно проверить её наименьшее значение на найденном промежутке.
Ответ: (−4; 1].
Второе неравенство равносильно x2 − 8x + a2 < 0. Парабола ветвями вверх с вершиной x = 4, поэтому достаточно проверить её наименьшее значение на найденном промежутке.
Ответ: (−4; 1].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
a ≤ x10x > x2 + a2x + a ≤ 5
имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].
a ≤ x10x > x2 + a2x + a ≤ 5
имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].
Показать ответ
(−5; 1]
Решение
Первое и третье неравенства задают промежуток a ≤ x ≤ 5 − a; вместе с отрезком [4; 5] получаем x ∈ [max(a; 4); min(5 − a; 5)].
Второе неравенство равносильно x2 − 10x + a2 < 0. Парабола ветвями вверх с вершиной x = 5, поэтому достаточно проверить её наименьшее значение на найденном промежутке.
Ответ: (−5; 1].
Второе неравенство равносильно x2 − 10x + a2 < 0. Парабола ветвями вверх с вершиной x = 5, поэтому достаточно проверить её наименьшее значение на найденном промежутке.
Ответ: (−5; 1].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
2a ≤ x6x > x2 + a2x + a ≤ 5
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 5].
2a ≤ x6x > x2 + a2x + a ≤ 5
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 5].
Показать ответ
(−3; 5/3]
Решение
Первое и третье неравенства задают промежуток 2a ≤ x ≤ 5 − a; вместе с отрезком [3; 5] получаем x ∈ [max(2a; 3); min(5 − a; 5)].
Второе неравенство равносильно x2 − 6x + a2 < 0. Парабола ветвями вверх с вершиной x = 3, поэтому достаточно проверить её наименьшее значение на найденном промежутке.
Ответ: (−3; 5/3].
Второе неравенство равносильно x2 − 6x + a2 < 0. Парабола ветвями вверх с вершиной x = 3, поэтому достаточно проверить её наименьшее значение на найденном промежутке.
Ответ: (−3; 5/3].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
3a ≤ x8x > x2 + a2x + a ≤ 7
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
3a ≤ x8x > x2 + a2x + a ≤ 7
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
Показать ответ
(−4; 4/3]
Решение
Первое и третье неравенства задают промежуток 3a ≤ x ≤ 7 − a; вместе с отрезком [3; 4] получаем x ∈ [max(3a; 3); min(7 − a; 4)].
Второе неравенство равносильно x2 − 8x + a2 < 0. Парабола ветвями вверх с вершиной x = 4, поэтому достаточно проверить её наименьшее значение на найденном промежутке.
Ответ: (−4; 4/3].
Второе неравенство равносильно x2 − 8x + a2 < 0. Парабола ветвями вверх с вершиной x = 4, поэтому достаточно проверить её наименьшее значение на найденном промежутке.
Ответ: (−4; 4/3].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
a ≤ x8x > x2 + a2x + a ≤ 7
имеет хотя бы одно решение на отрезке [2; 4].
a ≤ x8x > x2 + a2x + a ≤ 7
имеет хотя бы одно решение на отрезке [2; 4].
Показать ответ
(−4; 7/2]
Решение
Первое и третье неравенства задают промежуток a ≤ x ≤ 7 − a; вместе с отрезком [2; 4] получаем x ∈ [max(a; 2); min(7 − a; 4)].
Второе неравенство равносильно x2 − 8x + a2 < 0. Парабола ветвями вверх с вершиной x = 4, поэтому достаточно проверить её наименьшее значение на найденном промежутке.
Ответ: (−4; 7/2].
Второе неравенство равносильно x2 − 8x + a2 < 0. Парабола ветвями вверх с вершиной x = 4, поэтому достаточно проверить её наименьшее значение на найденном промежутке.
Ответ: (−4; 7/2].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.