Корень с обеих сторон: (x²+√(a−x))² = (px+q+√(a−x))² — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«A² = B²» — единственное решение на отрезке. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + 2 = (1 + )2
имеет единственный корень на отрезке [−1; 1].
x2 + 2 = (1 + )2
имеет единственный корень на отрезке [−1; 1].
Показать ответ
[−1; 1)
Решение
Разность квадратов: (A − B)(A + B) = 0, где A − B = x2 − 1, A + B = x2 + 1 + 2√(a − x).
Второй множитель положителен при всех x (дискриминант трёхчлена x2 + 1 отрицателен, а корень неотрицателен), поэтому решения даёт только первый: x = 1 и x = −1.
Каждый годится при ОДЗ a − x ≥ 0, то есть x ≤ a, и при попадании на отрезок [−1; 1].
Ответ: [−1; 1).
Второй множитель положителен при всех x (дискриминант трёхчлена x2 + 1 отрицателен, а корень неотрицателен), поэтому решения даёт только первый: x = 1 и x = −1.
Каждый годится при ОДЗ a − x ≥ 0, то есть x ≤ a, и при попадании на отрезок [−1; 1].
Ответ: [−1; 1).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + 2 = (−2x + 3 + )2
имеет единственный корень на отрезке [−3; 1].
x2 + 2 = (−2x + 3 + )2
имеет единственный корень на отрезке [−3; 1].
Показать ответ
[−3; 1)
Решение
Разность квадратов: (A − B)(A + B) = 0, где A − B = x2 + 2x − 3, A + B = x2 − 2x + 3 + 2√(a − x).
Второй множитель положителен при всех x (дискриминант трёхчлена x2 − 2x + 3 отрицателен, а корень неотрицателен), поэтому решения даёт только первый: x = 1 и x = −3.
Каждый годится при ОДЗ a − x ≥ 0, то есть x ≤ a, и при попадании на отрезок [−3; 1].
Ответ: [−3; 1).
Второй множитель положителен при всех x (дискриминант трёхчлена x2 − 2x + 3 отрицателен, а корень неотрицателен), поэтому решения даёт только первый: x = 1 и x = −3.
Каждый годится при ОДЗ a − x ≥ 0, то есть x ≤ a, и при попадании на отрезок [−3; 1].
Ответ: [−3; 1).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + 2 = (x + 2 + )2
имеет единственный корень на отрезке [0; 2].
x2 + 2 = (x + 2 + )2
имеет единственный корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
[2; +∞)
Решение
Разность квадратов: (A − B)(A + B) = 0, где A − B = x2 − x − 2, A + B = x2 + x + 2 + 2√(a − x).
Второй множитель положителен при всех x (дискриминант трёхчлена x2 + x + 2 отрицателен, а корень неотрицателен), поэтому решения даёт только первый: x = 2 и x = −1.
Каждый годится при ОДЗ a − x ≥ 0, то есть x ≤ a, и при попадании на отрезок [0; 2].
Ответ: [2; +∞).
Второй множитель положителен при всех x (дискриминант трёхчлена x2 + x + 2 отрицателен, а корень неотрицателен), поэтому решения даёт только первый: x = 2 и x = −1.
Каждый годится при ОДЗ a − x ≥ 0, то есть x ≤ a, и при попадании на отрезок [0; 2].
Ответ: [2; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + 2 = (2x + 3 + )2
имеет единственный корень на отрезке [−1; 3].
x2 + 2 = (2x + 3 + )2
имеет единственный корень на отрезке [−1; 3].
Показать ответ
[−1; 3)
Решение
Разность квадратов: (A − B)(A + B) = 0, где A − B = x2 − 2x − 3, A + B = x2 + 2x + 3 + 2√(a − x).
Второй множитель положителен при всех x (дискриминант трёхчлена x2 + 2x + 3 отрицателен, а корень неотрицателен), поэтому решения даёт только первый: x = 3 и x = −1.
Каждый годится при ОДЗ a − x ≥ 0, то есть x ≤ a, и при попадании на отрезок [−1; 3].
Ответ: [−1; 3).
Второй множитель положителен при всех x (дискриминант трёхчлена x2 + 2x + 3 отрицателен, а корень неотрицателен), поэтому решения даёт только первый: x = 3 и x = −1.
Каждый годится при ОДЗ a − x ≥ 0, то есть x ≤ a, и при попадании на отрезок [−1; 3].
Ответ: [−1; 3).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + 2 = (3x + 4 + )2
имеет единственный корень на отрезке [−1; 4].
x2 + 2 = (3x + 4 + )2
имеет единственный корень на отрезке [−1; 4].
Показать ответ
[−1; 4)
Решение
Разность квадратов: (A − B)(A + B) = 0, где A − B = x2 − 3x − 4, A + B = x2 + 3x + 4 + 2√(a − x).
Второй множитель положителен при всех x (дискриминант трёхчлена x2 + 3x + 4 отрицателен, а корень неотрицателен), поэтому решения даёт только первый: x = 4 и x = −1.
Каждый годится при ОДЗ a − x ≥ 0, то есть x ≤ a, и при попадании на отрезок [−1; 4].
Ответ: [−1; 4).
Второй множитель положителен при всех x (дискриминант трёхчлена x2 + 3x + 4 отрицателен, а корень неотрицателен), поэтому решения даёт только первый: x = 4 и x = −1.
Каждый годится при ОДЗ a − x ≥ 0, то есть x ≤ a, и при попадании на отрезок [−1; 4].
Ответ: [−1; 4).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.