Корень слева умножен на x: x√(x−a) = √((x−a)((u+v)x−uv)) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«Ровно один корень на отрезке». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x =
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
x =
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ [1; 2]
Решение
Правое подкоренное раскладывается: 4x2 − (3 + 4a)x + 3a = (x − a)(4x − 3).
Левая часть неотрицательна, поэтому нужно x ≥ 0; ОДЗ даёт x ≥ a. Возводя в квадрат, получаем x2(x − a) = (x − a)(4x − 3) ⟺ (x − a)(x − 1)(x − 3) = 0.
Кандидаты x = a, x = 1, x = 3; каждый годится при x ≥ 0 и x ≥ a. Считаем попавшие на отрезок [0; 2].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [1; 2].
Левая часть неотрицательна, поэтому нужно x ≥ 0; ОДЗ даёт x ≥ a. Возводя в квадрат, получаем x2(x − a) = (x − a)(4x − 3) ⟺ (x − a)(x − 1)(x − 3) = 0.
Кандидаты x = a, x = 1, x = 3; каждый годится при x ≥ 0 и x ≥ a. Считаем попавшие на отрезок [0; 2].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [1; 2].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x =
имеет ровно один корень на отрезке [0; 5].
x =
имеет ровно один корень на отрезке [0; 5].
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ [2; 5]
Решение
Правое подкоренное раскладывается: 8x2 − (12 + 8a)x + 12a = (x − a)(8x − 12).
Левая часть неотрицательна, поэтому нужно x ≥ 0; ОДЗ даёт x ≥ a. Возводя в квадрат, получаем x2(x − a) = (x − a)(8x − 12) ⟺ (x − a)(x − 2)(x − 6) = 0.
Кандидаты x = a, x = 2, x = 6; каждый годится при x ≥ 0 и x ≥ a. Считаем попавшие на отрезок [0; 5].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [2; 5].
Левая часть неотрицательна, поэтому нужно x ≥ 0; ОДЗ даёт x ≥ a. Возводя в квадрат, получаем x2(x − a) = (x − a)(8x − 12) ⟺ (x − a)(x − 2)(x − 6) = 0.
Кандидаты x = a, x = 2, x = 6; каждый годится при x ≥ 0 и x ≥ a. Считаем попавшие на отрезок [0; 5].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [2; 5].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x =
имеет ровно один корень на отрезке [0; 4].
x =
имеет ровно один корень на отрезке [0; 4].
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ [1; 4]
Решение
Правое подкоренное раскладывается: 7x2 − (6 + 7a)x + 6a = (x − a)(7x − 6).
Левая часть неотрицательна, поэтому нужно x ≥ 0; ОДЗ даёт x ≥ a. Возводя в квадрат, получаем x2(x − a) = (x − a)(7x − 6) ⟺ (x − a)(x − 1)(x − 6) = 0.
Кандидаты x = a, x = 1, x = 6; каждый годится при x ≥ 0 и x ≥ a. Считаем попавшие на отрезок [0; 4].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [1; 4].
Левая часть неотрицательна, поэтому нужно x ≥ 0; ОДЗ даёт x ≥ a. Возводя в квадрат, получаем x2(x − a) = (x − a)(7x − 6) ⟺ (x − a)(x − 1)(x − 6) = 0.
Кандидаты x = a, x = 1, x = 6; каждый годится при x ≥ 0 и x ≥ a. Считаем попавшие на отрезок [0; 4].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [1; 4].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x =
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
x =
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ {3}
Решение
Правое подкоренное раскладывается: 7x2 − (12 + 7a)x + 12a = (x − a)(7x − 12).
Левая часть неотрицательна, поэтому нужно x ≥ 0; ОДЗ даёт x ≥ a. Возводя в квадрат, получаем x2(x − a) = (x − a)(7x − 12) ⟺ (x − a)(x − 3)(x − 4) = 0.
Кандидаты x = a, x = 3, x = 4; каждый годится при x ≥ 0 и x ≥ a. Считаем попавшие на отрезок [0; 3].
Ответ: (−∞; 0) ∪ {3}.
Левая часть неотрицательна, поэтому нужно x ≥ 0; ОДЗ даёт x ≥ a. Возводя в квадрат, получаем x2(x − a) = (x − a)(7x − 12) ⟺ (x − a)(x − 3)(x − 4) = 0.
Кандидаты x = a, x = 3, x = 4; каждый годится при x ≥ 0 и x ≥ a. Считаем попавшие на отрезок [0; 3].
Ответ: (−∞; 0) ∪ {3}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x =
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
x =
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ {1}
Решение
Правое подкоренное раскладывается: 6x2 − (5 + 6a)x + 5a = (x − a)(6x − 5).
Левая часть неотрицательна, поэтому нужно x ≥ 0; ОДЗ даёт x ≥ a. Возводя в квадрат, получаем x2(x − a) = (x − a)(6x − 5) ⟺ (x − a)(x − 1)(x − 5) = 0.
Кандидаты x = a, x = 1, x = 5; каждый годится при x ≥ 0 и x ≥ a. Считаем попавшие на отрезок [0; 1].
Ответ: (−∞; 0) ∪ {1}.
Левая часть неотрицательна, поэтому нужно x ≥ 0; ОДЗ даёт x ≥ a. Возводя в квадрат, получаем x2(x − a) = (x − a)(6x − 5) ⟺ (x − a)(x − 1)(x − 5) = 0.
Кандидаты x = a, x = 1, x = 5; каждый годится при x ≥ 0 и x ≥ a. Считаем попавшие на отрезок [0; 1].
Ответ: (−∞; 0) ∪ {1}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.