Корень в числителе и в знаменателе — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Распадающаяся кривая + прямая. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + x − y) = 0a = x + y
имеет ровно два различных решения.
(y2 − xy + x − y) = 0a = x + y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−6; −2] ∪ {2} ∪ [5; 8)
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 1)(y − x) · √(x + 3) = 0. ОДЗ: −3 ≤ x < 4 (корень в числителе даёт вертикаль x = −3, корень в знаменателе — строгую границу справа).
Значит кривая — это горизонталь y = 1, прямая y = x и вертикаль x = −3.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 1; 1), (a/2; a/2) и (−3; a + 3) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−6; −2] ∪ {2} ∪ [5; 8).
Значит кривая — это горизонталь y = 1, прямая y = x и вертикаль x = −3.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 1; 1), (a/2; a/2) и (−3; a + 3) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−6; −2] ∪ {2} ∪ [5; 8).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + x − y) = 0a = x + y
имеет ровно два различных решения.
(y2 − xy + x − y) = 0a = x + y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−10; −4] ∪ {2} ∪ [4; 6)
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 1)(y − x) · √(x + 5) = 0. ОДЗ: −5 ≤ x < 3 (корень в числителе даёт вертикаль x = −5, корень в знаменателе — строгую границу справа).
Значит кривая — это горизонталь y = 1, прямая y = x и вертикаль x = −5.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 1; 1), (a/2; a/2) и (−5; a + 5) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−10; −4] ∪ {2} ∪ [4; 6).
Значит кривая — это горизонталь y = 1, прямая y = x и вертикаль x = −5.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 1; 1), (a/2; a/2) и (−5; a + 5) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−10; −4] ∪ {2} ∪ [4; 6).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + 2x − 2y) = 0a = x + y
имеет ровно два различных решения.
(y2 − xy + 2x − 2y) = 0a = x + y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−8; −2] ∪ {4} ∪ [5; 6)
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 2)(y − x) · √(x + 4) = 0. ОДЗ: −4 ≤ x < 3 (корень в числителе даёт вертикаль x = −4, корень в знаменателе — строгую границу справа).
Значит кривая — это горизонталь y = 2, прямая y = x и вертикаль x = −4.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 2; 2), (a/2; a/2) и (−4; a + 4) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−8; −2] ∪ {4} ∪ [5; 6).
Значит кривая — это горизонталь y = 2, прямая y = x и вертикаль x = −4.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 2; 2), (a/2; a/2) и (−4; a + 4) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−8; −2] ∪ {4} ∪ [5; 6).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + x − y) = 0a = x + y
имеет ровно два различных решения.
(y2 − xy + x − y) = 0a = x + y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−8; −3] ∪ {2} ∪ [4; 6)
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 1)(y − x) · √(x + 4) = 0. ОДЗ: −4 ≤ x < 3 (корень в числителе даёт вертикаль x = −4, корень в знаменателе — строгую границу справа).
Значит кривая — это горизонталь y = 1, прямая y = x и вертикаль x = −4.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 1; 1), (a/2; a/2) и (−4; a + 4) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−8; −3] ∪ {2} ∪ [4; 6).
Значит кривая — это горизонталь y = 1, прямая y = x и вертикаль x = −4.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 1; 1), (a/2; a/2) и (−4; a + 4) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−8; −3] ∪ {2} ∪ [4; 6).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.