(kx−c)·ln(x+a) = (kx−c)·ln(px−a) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(5x − 2) · ln(x + a) = (5x − 2) · ln(2x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
(5x − 2) · ln(x + a) = (5x − 2) · ln(2x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
(−2/5; 0] ∪ {1/5} ∪ (1/2; 4/5)
Решение
ОДЗ: x + a > 0 и 2x − a > 0. Уравнение равносильно (5x − 2)(ln(x + a) − ln(2x − a)) = 0.
Первый множитель даёт x = 2/5, второй — равенство аргументов x + a = 2x − a, то есть x = 2a.
Каждый кандидат годится, только если попадает на отрезок [0; 1] и удовлетворяет ОДЗ; при a = 1/5 они совпадают.
Ответ: (−2/5; 0] ∪ {1/5} ∪ (1/2; 4/5).
Первый множитель даёт x = 2/5, второй — равенство аргументов x + a = 2x − a, то есть x = 2a.
Каждый кандидат годится, только если попадает на отрезок [0; 1] и удовлетворяет ОДЗ; при a = 1/5 они совпадают.
Ответ: (−2/5; 0] ∪ {1/5} ∪ (1/2; 4/5).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(5x − 2) · ln(x + a) = (5x − 2) · ln(3x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
(5x − 2) · ln(x + a) = (5x − 2) · ln(3x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
(−2/5; 0] ∪ {2/5} ∪ (1; 6/5)
Решение
ОДЗ: x + a > 0 и 3x − a > 0. Уравнение равносильно (5x − 2)(ln(x + a) − ln(3x − a)) = 0.
Первый множитель даёт x = 2/5, второй — равенство аргументов x + a = 3x − a, то есть x = a.
Каждый кандидат годится, только если попадает на отрезок [0; 1] и удовлетворяет ОДЗ; при a = 2/5 они совпадают.
Ответ: (−2/5; 0] ∪ {2/5} ∪ (1; 6/5).
Первый множитель даёт x = 2/5, второй — равенство аргументов x + a = 3x − a, то есть x = a.
Каждый кандидат годится, только если попадает на отрезок [0; 1] и удовлетворяет ОДЗ; при a = 2/5 они совпадают.
Ответ: (−2/5; 0] ∪ {2/5} ∪ (1; 6/5).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(2x − 1) · ln(x + a) = (2x − 1) · ln(2x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
(2x − 1) · ln(x + a) = (2x − 1) · ln(2x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
(−1/2; 0] ∪ {1/4} ∪ {1}
Решение
ОДЗ: x + a > 0 и 2x − a > 0. Уравнение равносильно (2x − 1)(ln(x + a) − ln(2x − a)) = 0.
Первый множитель даёт x = 1/2, второй — равенство аргументов x + a = 2x − a, то есть x = 2a.
Каждый кандидат годится, только если попадает на отрезок [0; 2] и удовлетворяет ОДЗ; при a = 1/4 они совпадают.
Ответ: (−1/2; 0] ∪ {1/4} ∪ {1}.
Первый множитель даёт x = 1/2, второй — равенство аргументов x + a = 2x − a, то есть x = 2a.
Каждый кандидат годится, только если попадает на отрезок [0; 2] и удовлетворяет ОДЗ; при a = 1/4 они совпадают.
Ответ: (−1/2; 0] ∪ {1/4} ∪ {1}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(3x − 2) · ln(x + a) = (3x − 2) · ln(4x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
(3x − 2) · ln(x + a) = (3x − 2) · ln(4x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
(−2/3; 0] ∪ {1} ∪ [8/3; 3]
Решение
ОДЗ: x + a > 0 и 4x − a > 0. Уравнение равносильно (3x − 2)(ln(x + a) − ln(4x − a)) = 0.
Первый множитель даёт x = 2/3, второй — равенство аргументов x + a = 4x − a, то есть x = 2/3a.
Каждый кандидат годится, только если попадает на отрезок [0; 2] и удовлетворяет ОДЗ; при a = 1 они совпадают.
Ответ: (−2/3; 0] ∪ {1} ∪ [8/3; 3].
Первый множитель даёт x = 2/3, второй — равенство аргументов x + a = 4x − a, то есть x = 2/3a.
Каждый кандидат годится, только если попадает на отрезок [0; 2] и удовлетворяет ОДЗ; при a = 1 они совпадают.
Ответ: (−2/3; 0] ∪ {1} ∪ [8/3; 3].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(3x − 1) · ln(x + a) = (3x − 1) · ln(2x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
(3x − 1) · ln(x + a) = (3x − 1) · ln(2x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
(−1/3; 0] ∪ {1/6} ∪ (1/2; 2/3)
Решение
ОДЗ: x + a > 0 и 2x − a > 0. Уравнение равносильно (3x − 1)(ln(x + a) − ln(2x − a)) = 0.
Первый множитель даёт x = 1/3, второй — равенство аргументов x + a = 2x − a, то есть x = 2a.
Каждый кандидат годится, только если попадает на отрезок [0; 1] и удовлетворяет ОДЗ; при a = 1/6 они совпадают.
Ответ: (−1/3; 0] ∪ {1/6} ∪ (1/2; 2/3).
Первый множитель даёт x = 1/3, второй — равенство аргументов x + a = 2x − a, то есть x = 2a.
Каждый кандидат годится, только если попадает на отрезок [0; 1] и удовлетворяет ОДЗ; при a = 1/6 они совпадают.
Ответ: (−1/3; 0] ∪ {1/6} ∪ (1/2; 2/3).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.