√(kx−c)·ln((x−m)²+1−a²) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(x2 − 2x + 2 − a2) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 4].
·ln(x2 − 2x + 2 − a2) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 4].
Показать ответ
[−3; −13/12] ∪ [13/12; 3]
Решение
Аргумент логарифма равен (x − 1)2 + 1 − a2.
Произведение равно нулю, если 12x − 7 = 0, то есть x = 7/12 (логарифм там должен быть определён), либо логарифм равен нулю: (x − 1)2 + 1 − a2 = 1 ⟺ x = 1 ± a (и тогда нужно 12x − 7 ≥ 0).
Ответ: [−3; −13/12] ∪ [13/12; 3].
Произведение равно нулю, если 12x − 7 = 0, то есть x = 7/12 (логарифм там должен быть определён), либо логарифм равен нулю: (x − 1)2 + 1 − a2 = 1 ⟺ x = 1 ± a (и тогда нужно 12x − 7 ≥ 0).
Ответ: [−3; −13/12] ∪ [13/12; 3].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(x2 − 2x + 2 − a2) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
·ln(x2 − 2x + 2 − a2) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
Показать ответ
[−2; −13/12] ∪ [13/12; 2]
Решение
Аргумент логарифма равен (x − 1)2 + 1 − a2.
Произведение равно нулю, если 12x − 7 = 0, то есть x = 7/12 (логарифм там должен быть определён), либо логарифм равен нулю: (x − 1)2 + 1 − a2 = 1 ⟺ x = 1 ± a (и тогда нужно 12x − 7 ≥ 0).
Ответ: [−2; −13/12] ∪ [13/12; 2].
Произведение равно нулю, если 12x − 7 = 0, то есть x = 7/12 (логарифм там должен быть определён), либо логарифм равен нулю: (x − 1)2 + 1 − a2 = 1 ⟺ x = 1 ± a (и тогда нужно 12x − 7 ≥ 0).
Ответ: [−2; −13/12] ∪ [13/12; 2].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(x2 − 2x + 2 − a2) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 4].
·ln(x2 − 2x + 2 − a2) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 4].
Показать ответ
[−3; −5/4] ∪ [5/4; 3]
Решение
Аргумент логарифма равен (x − 1)2 + 1 − a2.
Произведение равно нулю, если 4x − 1 = 0, то есть x = 1/4 (логарифм там должен быть определён), либо логарифм равен нулю: (x − 1)2 + 1 − a2 = 1 ⟺ x = 1 ± a (и тогда нужно 4x − 1 ≥ 0).
Ответ: [−3; −5/4] ∪ [5/4; 3].
Произведение равно нулю, если 4x − 1 = 0, то есть x = 1/4 (логарифм там должен быть определён), либо логарифм равен нулю: (x − 1)2 + 1 − a2 = 1 ⟺ x = 1 ± a (и тогда нужно 4x − 1 ≥ 0).
Ответ: [−3; −5/4] ∪ [5/4; 3].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(x2 − 4x + 5 − a2) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
·ln(x2 − 4x + 5 − a2) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
(−5/4; −3/4] ∪ [3/4; 5/4)
Решение
Аргумент логарифма равен (x − 2)2 + 1 − a2.
Произведение равно нулю, если 4x − 5 = 0, то есть x = 5/4 (логарифм там должен быть определён), либо логарифм равен нулю: (x − 2)2 + 1 − a2 = 1 ⟺ x = 2 ± a (и тогда нужно 4x − 5 ≥ 0).
Ответ: (−5/4; −3/4] ∪ [3/4; 5/4).
Произведение равно нулю, если 4x − 5 = 0, то есть x = 5/4 (логарифм там должен быть определён), либо логарифм равен нулю: (x − 2)2 + 1 − a2 = 1 ⟺ x = 2 ± a (и тогда нужно 4x − 5 ≥ 0).
Ответ: (−5/4; −3/4] ∪ [3/4; 5/4).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(x2 − 6x + 10 − a2) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
·ln(x2 − 6x + 10 − a2) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
(−13/5; −12/5] ∪ (−1; 1) ∪ [12/5; 13/5)
Решение
Аргумент логарифма равен (x − 3)2 + 1 − a2.
Произведение равно нулю, если 5x − 3 = 0, то есть x = 3/5 (логарифм там должен быть определён), либо логарифм равен нулю: (x − 3)2 + 1 − a2 = 1 ⟺ x = 3 ± a (и тогда нужно 5x − 3 ≥ 0).
Ответ: (−13/5; −12/5] ∪ (−1; 1) ∪ [12/5; 13/5).
Произведение равно нулю, если 5x − 3 = 0, то есть x = 3/5 (логарифм там должен быть определён), либо логарифм равен нулю: (x − 3)2 + 1 − a2 = 1 ⟺ x = 3 ± a (и тогда нужно 5x − 3 ≥ 0).
Ответ: (−13/5; −12/5] ∪ (−1; 1) ∪ [12/5; 13/5).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.