ln(kx−1)·√(x²−2mx+2ta−a²) = 0 на отрезке — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«Ровно один корень на отрезке». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ln(2x − 1) · = 0
имеет ровно один корень на отрезке [1; 5].
ln(2x − 1) · = 0
имеет ровно один корень на отрезке [1; 5].
Показать ответ
[−1; 1) ∪ (3; 5]
Решение
Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей И определён второй.
ln(2x − 1) = 0 ⟺ 2x − 1 = 1 ⟺ x = 1; этот корень годится, если подкоренное там положительно.
√(x2 − 4x + 4a − a2) = 0 ⟺ x2 − 4x + 4a − a2 = 0, и нужен 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2.
Считаем, при каких a на отрезке [1; 5] остаётся ровно один такой x.
Ответ: [−1; 1) ∪ (3; 5].
ln(2x − 1) = 0 ⟺ 2x − 1 = 1 ⟺ x = 1; этот корень годится, если подкоренное там положительно.
√(x2 − 4x + 4a − a2) = 0 ⟺ x2 − 4x + 4a − a2 = 0, и нужен 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2.
Считаем, при каких a на отрезке [1; 5] остаётся ровно один такой x.
Ответ: [−1; 1) ∪ (3; 5].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ln(2x − 1) · = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
ln(2x − 1) · = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
Показать ответ
(1/2; 1] ∪ [5; 11/2)
Решение
Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей И определён второй.
ln(2x − 1) = 0 ⟺ 2x − 1 = 1 ⟺ x = 1; этот корень годится, если подкоренное там положительно.
√(x2 − 6x + 6a − a2) = 0 ⟺ x2 − 6x + 6a − a2 = 0, и нужен 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2.
Считаем, при каких a на отрезке [0; 3] остаётся ровно один такой x.
Ответ: (1/2; 1] ∪ [5; 11/2).
ln(2x − 1) = 0 ⟺ 2x − 1 = 1 ⟺ x = 1; этот корень годится, если подкоренное там положительно.
√(x2 − 6x + 6a − a2) = 0 ⟺ x2 − 6x + 6a − a2 = 0, и нужен 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2.
Считаем, при каких a на отрезке [0; 3] остаётся ровно один такой x.
Ответ: (1/2; 1] ∪ [5; 11/2).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ln(2x − 1) · = 0
имеет ровно один корень на отрезке [1; 4].
ln(2x − 1) · = 0
имеет ровно один корень на отрезке [1; 4].
Показать ответ
[0; 1) ∪ (3; 4]
Решение
Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей И определён второй.
ln(2x − 1) = 0 ⟺ 2x − 1 = 1 ⟺ x = 1; этот корень годится, если подкоренное там положительно.
√(x2 − 4x + 4a − a2) = 0 ⟺ x2 − 4x + 4a − a2 = 0, и нужен 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2.
Считаем, при каких a на отрезке [1; 4] остаётся ровно один такой x.
Ответ: [0; 1) ∪ (3; 4].
ln(2x − 1) = 0 ⟺ 2x − 1 = 1 ⟺ x = 1; этот корень годится, если подкоренное там положительно.
√(x2 − 4x + 4a − a2) = 0 ⟺ x2 − 4x + 4a − a2 = 0, и нужен 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2.
Считаем, при каких a на отрезке [1; 4] остаётся ровно один такой x.
Ответ: [0; 1) ∪ (3; 4].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ln(2x − 1) · = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 5].
ln(2x − 1) · = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 5].
Показать ответ
(1/2; 1) ∪ (5; 11/2)
Решение
Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей И определён второй.
ln(2x − 1) = 0 ⟺ 2x − 1 = 1 ⟺ x = 1; этот корень годится, если подкоренное там положительно.
√(x2 − 6x + 6a − a2) = 0 ⟺ x2 − 6x + 6a − a2 = 0, и нужен 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2.
Считаем, при каких a на отрезке [0; 5] остаётся ровно один такой x.
Ответ: (1/2; 1) ∪ (5; 11/2).
ln(2x − 1) = 0 ⟺ 2x − 1 = 1 ⟺ x = 1; этот корень годится, если подкоренное там положительно.
√(x2 − 6x + 6a − a2) = 0 ⟺ x2 − 6x + 6a − a2 = 0, и нужен 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2.
Считаем, при каких a на отрезке [0; 5] остаётся ровно один такой x.
Ответ: (1/2; 1) ∪ (5; 11/2).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ln(2x − 1) · = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 5].
ln(2x − 1) · = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 5].
Показать ответ
[−1; 1/2] ∪ [7/2; 5]
Решение
Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей И определён второй.
ln(2x − 1) = 0 ⟺ 2x − 1 = 1 ⟺ x = 1; этот корень годится, если подкоренное там положительно.
√(x2 − 4x + 4a − a2) = 0 ⟺ x2 − 4x + 4a − a2 = 0, и нужен 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2.
Считаем, при каких a на отрезке [0; 5] остаётся ровно один такой x.
Ответ: [−1; 1/2] ∪ [7/2; 5].
ln(2x − 1) = 0 ⟺ 2x − 1 = 1 ⟺ x = 1; этот корень годится, если подкоренное там положительно.
√(x2 − 4x + 4a − a2) = 0 ⟺ x2 − 4x + 4a − a2 = 0, и нужен 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2.
Считаем, при каких a на отрезке [0; 5] остаётся ровно один такой x.
Ответ: [−1; 1/2] ∪ [7/2; 5].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.