log_{c−x}(d−a−x) = 2 — хотя бы один корень на промежутке — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Рациональные, четвёртой степени, кусочные. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
log2 − x(5 − a − x) = 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 2).
log2 − x(5 − a − x) = 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 2).
Показать ответ
[−3; 3) ∪ (3; 13/4]
Решение
ОДЗ: 2 − x > 0, 2 − x ≠ 1 (то есть x ≠ 1) и 5 − a − x > 0.
По определению логарифма (2 − x)2 = 5 − a − x, то есть x2 − 3x − 1 + a = 0 (правая часть тогда положительна автоматически).
Нужно, чтобы хотя бы один такой корень попал в [−1; 2) и не равнялся 1.
Ответ: [−3; 3) ∪ (3; 13/4].
По определению логарифма (2 − x)2 = 5 − a − x, то есть x2 − 3x − 1 + a = 0 (правая часть тогда положительна автоматически).
Нужно, чтобы хотя бы один такой корень попал в [−1; 2) и не равнялся 1.
Ответ: [−3; 3) ∪ (3; 13/4].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
log3 − x(8 − a − x) = 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 3).
log3 − x(8 − a − x) = 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 3).
Показать ответ
[−7; 5) ∪ (5; 21/4]
Решение
ОДЗ: 3 − x > 0, 3 − x ≠ 1 (то есть x ≠ 2) и 8 − a − x > 0.
По определению логарифма (3 − x)2 = 8 − a − x, то есть x2 − 5x + 1 + a = 0 (правая часть тогда положительна автоматически).
Нужно, чтобы хотя бы один такой корень попал в [−1; 3) и не равнялся 2.
Ответ: [−7; 5) ∪ (5; 21/4].
По определению логарифма (3 − x)2 = 8 − a − x, то есть x2 − 5x + 1 + a = 0 (правая часть тогда положительна автоматически).
Нужно, чтобы хотя бы один такой корень попал в [−1; 3) и не равнялся 2.
Ответ: [−7; 5) ∪ (5; 21/4].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
log1 − x(5 − a − x) = 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−4; 1).
log1 − x(5 − a − x) = 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−4; 1).
Показать ответ
[−16; 4) ∪ (4; 17/4]
Решение
ОДЗ: 1 − x > 0, 1 − x ≠ 1 (то есть x ≠ 0) и 5 − a − x > 0.
По определению логарифма (1 − x)2 = 5 − a − x, то есть x2 − x − 4 + a = 0 (правая часть тогда положительна автоматически).
Нужно, чтобы хотя бы один такой корень попал в [−4; 1) и не равнялся 0.
Ответ: [−16; 4) ∪ (4; 17/4].
По определению логарифма (1 − x)2 = 5 − a − x, то есть x2 − x − 4 + a = 0 (правая часть тогда положительна автоматически).
Нужно, чтобы хотя бы один такой корень попал в [−4; 1) и не равнялся 0.
Ответ: [−16; 4) ∪ (4; 17/4].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
log2 − x(6 − a − x) = 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−2; 2).
log2 − x(6 − a − x) = 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−2; 2).
Показать ответ
[−8; 4) ∪ (4; 17/4]
Решение
ОДЗ: 2 − x > 0, 2 − x ≠ 1 (то есть x ≠ 1) и 6 − a − x > 0.
По определению логарифма (2 − x)2 = 6 − a − x, то есть x2 − 3x − 2 + a = 0 (правая часть тогда положительна автоматически).
Нужно, чтобы хотя бы один такой корень попал в [−2; 2) и не равнялся 1.
Ответ: [−8; 4) ∪ (4; 17/4].
По определению логарифма (2 − x)2 = 6 − a − x, то есть x2 − 3x − 2 + a = 0 (правая часть тогда положительна автоматически).
Нужно, чтобы хотя бы один такой корень попал в [−2; 2) и не равнялся 1.
Ответ: [−8; 4) ∪ (4; 17/4].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
log1 − x(3 − a − x) = 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−2; 1).
log1 − x(3 − a − x) = 2
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−2; 1).
Показать ответ
[−4; 2) ∪ (2; 9/4]
Решение
ОДЗ: 1 − x > 0, 1 − x ≠ 1 (то есть x ≠ 0) и 3 − a − x > 0.
По определению логарифма (1 − x)2 = 3 − a − x, то есть x2 − x − 2 + a = 0 (правая часть тогда положительна автоматически).
Нужно, чтобы хотя бы один такой корень попал в [−2; 1) и не равнялся 0.
Ответ: [−4; 2) ∪ (2; 9/4].
По определению логарифма (1 − x)2 = 3 − a − x, то есть x2 − x − 2 + a = 0 (правая часть тогда положительна автоматически).
Нужно, чтобы хотя бы один такой корень попал в [−2; 1) и не равнялся 0.
Ответ: [−4; 2) ∪ (2; 9/4].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.