{log(c²−y²)=log(c²−a²x²); окружность} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы с логарифмом или корнем и кривой. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
log2(16 − y2) = log2(16 − a2x2)x2 + y2 = 2x + 4y
имеет ровно два решения.
log2(16 − y2) = log2(16 − a2x2)x2 + y2 = 2x + 4y
имеет ровно два решения.
Показать ответ
(−∞; −2] ∪ {−1/2} ∪ {0} ∪ {1/2} ∪ [2; +∞)
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = a2x2 при |y| < 4, то есть y = ax или y = −ax.
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 2 + 4a, то есть точку с x = (2 + 4a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю меньше 4.
Ответ: (−∞; −2] ∪ {−1/2} ∪ {0} ∪ {1/2} ∪ [2; +∞).
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 2 + 4a, то есть точку с x = (2 + 4a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю меньше 4.
Ответ: (−∞; −2] ∪ {−1/2} ∪ {0} ∪ {1/2} ∪ [2; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
log2(9 − y2) = log2(9 − a2x2)x2 + y2 = 2x + 4y
имеет ровно два решения.
log2(9 − y2) = log2(9 − a2x2)x2 + y2 = 2x + 4y
имеет ровно два решения.
Показать ответ
(−3; −1] ∪ {−1/2} ∪ {0} ∪ {1/2} ∪ [1; 3)
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = a2x2 при |y| < 3, то есть y = ax или y = −ax.
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 2 + 4a, то есть точку с x = (2 + 4a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю меньше 3.
Ответ: (−3; −1] ∪ {−1/2} ∪ {0} ∪ {1/2} ∪ [1; 3).
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 2 + 4a, то есть точку с x = (2 + 4a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю меньше 3.
Ответ: (−3; −1] ∪ {−1/2} ∪ {0} ∪ {1/2} ∪ [1; 3).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
log5(16 − y2) = log5(16 − a2x2)x2 + y2 = 2x + 10y
имеет ровно два решения.
log5(16 − y2) = log5(16 − a2x2)x2 + y2 = 2x + 10y
имеет ровно два решения.
Показать ответ
(−1; −2/3] ∪ {−1/5} ∪ {0} ∪ {1/5} ∪ [2/3; 1)
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = a2x2 при |y| < 4, то есть y = ax или y = −ax.
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 2 + 10a, то есть точку с x = (2 + 10a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю меньше 4.
Ответ: (−1; −2/3] ∪ {−1/5} ∪ {0} ∪ {1/5} ∪ [2/3; 1).
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 2 + 10a, то есть точку с x = (2 + 10a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю меньше 4.
Ответ: (−1; −2/3] ∪ {−1/5} ∪ {0} ∪ {1/5} ∪ [2/3; 1).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
log3(16 − y2) = log3(16 − a2x2)x2 + y2 = 6x + 8y
имеет ровно два решения.
log3(16 − y2) = log3(16 − a2x2)x2 + y2 = 6x + 8y
имеет ровно два решения.
Показать ответ
(−2; −3/4) ∪ (−3/4; −1/2] ∪ {0} ∪ [1/2; 3/4) ∪ (3/4; 2)
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = a2x2 при |y| < 4, то есть y = ax или y = −ax.
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 6 + 8a, то есть точку с x = (6 + 8a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю меньше 4.
Ответ: (−2; −3/4) ∪ (−3/4; −1/2] ∪ {0} ∪ [1/2; 3/4) ∪ (3/4; 2).
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 6 + 8a, то есть точку с x = (6 + 8a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю меньше 4.
Ответ: (−2; −3/4) ∪ (−3/4; −1/2] ∪ {0} ∪ [1/2; 3/4) ∪ (3/4; 2).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
log2(16 − y2) = log2(16 − a2x2)x2 + y2 = 6x + 8y
имеет ровно два решения.
log2(16 − y2) = log2(16 − a2x2)x2 + y2 = 6x + 8y
имеет ровно два решения.
Показать ответ
(−2; −3/4) ∪ (−3/4; −1/2] ∪ {0} ∪ [1/2; 3/4) ∪ (3/4; 2)
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = a2x2 при |y| < 4, то есть y = ax или y = −ax.
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 6 + 8a, то есть точку с x = (6 + 8a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю меньше 4.
Ответ: (−2; −3/4) ∪ (−3/4; −1/2] ∪ {0} ∪ [1/2; 3/4) ∪ (3/4; 2).
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 6 + 8a, то есть точку с x = (6 + 8a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю меньше 4.
Ответ: (−2; −3/4) ∪ (−3/4; −1/2] ∪ {0} ∪ [1/2; 3/4) ∪ (3/4; 2).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.