ⁿ√ + log + ra = 0 — любой корень принадлежит отрезку — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Тригонометрия с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых любой корень уравнения
2 + 5log5(20x − 35) + 2a = 0
принадлежит отрезку [2; 3].
2 + 5log5(20x − 35) + 2a = 0
принадлежит отрезку [2; 3].
Показать ответ
[−7; −7/2]
Решение
Корень 5-й степени — нечётный, он определён при всех x, поэтому область определения задаёт только логарифм: x > 7/4.
Обе функции строго возрастают, значит и сумма g(x) строго возрастает; у левого края области определения логарифм уходит в −∞, а при x → +∞ сумма неограниченно растёт. Поэтому g пробегает ВСЮ прямую: корень существует и он единственный, и условие «любой корень лежит на [2; 3]» равносильно g(2) ≤ −2a ≤ g(3).
Числа подобраны так, что в концах всё считается точно: при x = 2 подкоренное равно 1, а аргумент логарифма — 5, поэтому g(2) = 2 + 5 = 7; при x = 3 подкоренное равно 32, аргумент логарифма — 25, поэтому g(3) = 4 + 10 = 14.
Остаётся 7 ≤ −2a ≤ 14.
Ответ: [−7; −7/2].
Обе функции строго возрастают, значит и сумма g(x) строго возрастает; у левого края области определения логарифм уходит в −∞, а при x → +∞ сумма неограниченно растёт. Поэтому g пробегает ВСЮ прямую: корень существует и он единственный, и условие «любой корень лежит на [2; 3]» равносильно g(2) ≤ −2a ≤ g(3).
Числа подобраны так, что в концах всё считается точно: при x = 2 подкоренное равно 1, а аргумент логарифма — 5, поэтому g(2) = 2 + 5 = 7; при x = 3 подкоренное равно 32, аргумент логарифма — 25, поэтому g(3) = 4 + 10 = 14.
Остаётся 7 ≤ −2a ≤ 14.
Ответ: [−7; −7/2].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых любой корень уравнения
3 + 3log2(2x) + 5a = 0
принадлежит отрезку [1; 2].
3 + 3log2(2x) + 5a = 0
принадлежит отрезку [1; 2].
Показать ответ
[−12/5; −6/5]
Решение
Корень 5-й степени — нечётный, он определён при всех x, поэтому область определения задаёт только логарифм: x > 0.
Обе функции строго возрастают, значит и сумма g(x) строго возрастает; у левого края области определения логарифм уходит в −∞, а при x → +∞ сумма неограниченно растёт. Поэтому g пробегает ВСЮ прямую: корень существует и он единственный, и условие «любой корень лежит на [1; 2]» равносильно g(1) ≤ −5a ≤ g(2).
Числа подобраны так, что в концах всё считается точно: при x = 1 подкоренное равно 1, а аргумент логарифма — 2, поэтому g(1) = 3 + 3 = 6; при x = 2 подкоренное равно 32, аргумент логарифма — 4, поэтому g(2) = 6 + 6 = 12.
Остаётся 6 ≤ −5a ≤ 12.
Ответ: [−12/5; −6/5].
Обе функции строго возрастают, значит и сумма g(x) строго возрастает; у левого края области определения логарифм уходит в −∞, а при x → +∞ сумма неограниченно растёт. Поэтому g пробегает ВСЮ прямую: корень существует и он единственный, и условие «любой корень лежит на [1; 2]» равносильно g(1) ≤ −5a ≤ g(2).
Числа подобраны так, что в концах всё считается точно: при x = 1 подкоренное равно 1, а аргумент логарифма — 2, поэтому g(1) = 3 + 3 = 6; при x = 2 подкоренное равно 32, аргумент логарифма — 4, поэтому g(2) = 6 + 6 = 12.
Остаётся 6 ≤ −5a ≤ 12.
Ответ: [−12/5; −6/5].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых любой корень уравнения
4 + 4log2(2x − 4) + a = 0
принадлежит отрезку [3; 4].
4 + 4log2(2x − 4) + a = 0
принадлежит отрезку [3; 4].
Показать ответ
[−16; −8]
Решение
Корень 3-й степени — нечётный, он определён при всех x, поэтому область определения задаёт только логарифм: x > 2.
Обе функции строго возрастают, значит и сумма g(x) строго возрастает; у левого края области определения логарифм уходит в −∞, а при x → +∞ сумма неограниченно растёт. Поэтому g пробегает ВСЮ прямую: корень существует и он единственный, и условие «любой корень лежит на [3; 4]» равносильно g(3) ≤ −a ≤ g(4).
Числа подобраны так, что в концах всё считается точно: при x = 3 подкоренное равно 1, а аргумент логарифма — 2, поэтому g(3) = 4 + 4 = 8; при x = 4 подкоренное равно 8, аргумент логарифма — 4, поэтому g(4) = 8 + 8 = 16.
Остаётся 8 ≤ −a ≤ 16.
Ответ: [−16; −8].
Обе функции строго возрастают, значит и сумма g(x) строго возрастает; у левого края области определения логарифм уходит в −∞, а при x → +∞ сумма неограниченно растёт. Поэтому g пробегает ВСЮ прямую: корень существует и он единственный, и условие «любой корень лежит на [3; 4]» равносильно g(3) ≤ −a ≤ g(4).
Числа подобраны так, что в концах всё считается точно: при x = 3 подкоренное равно 1, а аргумент логарифма — 2, поэтому g(3) = 4 + 4 = 8; при x = 4 подкоренное равно 8, аргумент логарифма — 4, поэтому g(4) = 8 + 8 = 16.
Остаётся 8 ≤ −a ≤ 16.
Ответ: [−16; −8].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых любой корень уравнения
2 + 4log3(6x − 15) + a = 0
принадлежит отрезку [3; 4].
2 + 4log3(6x − 15) + a = 0
принадлежит отрезку [3; 4].
Показать ответ
[−12; −6]
Решение
Корень 3-й степени — нечётный, он определён при всех x, поэтому область определения задаёт только логарифм: x > 5/2.
Обе функции строго возрастают, значит и сумма g(x) строго возрастает; у левого края области определения логарифм уходит в −∞, а при x → +∞ сумма неограниченно растёт. Поэтому g пробегает ВСЮ прямую: корень существует и он единственный, и условие «любой корень лежит на [3; 4]» равносильно g(3) ≤ −a ≤ g(4).
Числа подобраны так, что в концах всё считается точно: при x = 3 подкоренное равно 1, а аргумент логарифма — 3, поэтому g(3) = 2 + 4 = 6; при x = 4 подкоренное равно 8, аргумент логарифма — 9, поэтому g(4) = 4 + 8 = 12.
Остаётся 6 ≤ −a ≤ 12.
Ответ: [−12; −6].
Обе функции строго возрастают, значит и сумма g(x) строго возрастает; у левого края области определения логарифм уходит в −∞, а при x → +∞ сумма неограниченно растёт. Поэтому g пробегает ВСЮ прямую: корень существует и он единственный, и условие «любой корень лежит на [3; 4]» равносильно g(3) ≤ −a ≤ g(4).
Числа подобраны так, что в концах всё считается точно: при x = 3 подкоренное равно 1, а аргумент логарифма — 3, поэтому g(3) = 2 + 4 = 6; при x = 4 подкоренное равно 8, аргумент логарифма — 9, поэтому g(4) = 4 + 8 = 12.
Остаётся 6 ≤ −a ≤ 12.
Ответ: [−12; −6].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых любой корень уравнения
3 + 4log3(6x − 9) + a = 0
принадлежит отрезку [2; 3].
3 + 4log3(6x − 9) + a = 0
принадлежит отрезку [2; 3].
Показать ответ
[−14; −7]
Решение
Корень 5-й степени — нечётный, он определён при всех x, поэтому область определения задаёт только логарифм: x > 3/2.
Обе функции строго возрастают, значит и сумма g(x) строго возрастает; у левого края области определения логарифм уходит в −∞, а при x → +∞ сумма неограниченно растёт. Поэтому g пробегает ВСЮ прямую: корень существует и он единственный, и условие «любой корень лежит на [2; 3]» равносильно g(2) ≤ −a ≤ g(3).
Числа подобраны так, что в концах всё считается точно: при x = 2 подкоренное равно 1, а аргумент логарифма — 3, поэтому g(2) = 3 + 4 = 7; при x = 3 подкоренное равно 32, аргумент логарифма — 9, поэтому g(3) = 6 + 8 = 14.
Остаётся 7 ≤ −a ≤ 14.
Ответ: [−14; −7].
Обе функции строго возрастают, значит и сумма g(x) строго возрастает; у левого края области определения логарифм уходит в −∞, а при x → +∞ сумма неограниченно растёт. Поэтому g пробегает ВСЮ прямую: корень существует и он единственный, и условие «любой корень лежит на [2; 3]» равносильно g(2) ≤ −a ≤ g(3).
Числа подобраны так, что в концах всё считается точно: при x = 2 подкоренное равно 1, а аргумент логарифма — 3, поэтому g(2) = 3 + 4 = 7; при x = 3 подкоренное равно 32, аргумент логарифма — 9, поэтому g(3) = 6 + 8 = 14.
Остаётся 7 ≤ −a ≤ 14.
Ответ: [−14; −7].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.