Множество решений тригонометрического неравенства содержит отрезок — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
a − (a2 − 4a)cos 2x + 34 − cos 4x + a2 < 1
содержит отрезок −2π; −7π6.
a − (a2 − 4a)cos 2x + 34 − cos 4x + a2 < 1
содержит отрезок −2π; −7π6.
Показать ответ
(5/2; +∞)
Решение
Обозначим c = cos 2x; тогда cos 4x = 2c2 − 1, и знаменатель равен 5 − 2c2 + a2 > 0 при любых значениях.
Умножая на него, получаем 2c2 − (a2 − 4a)c + (a − 2 − a2) < 0 — квадратный трёхчлен по c с положительным старшим коэффициентом.
На отрезке −2π; −7π6 аргумент 2x пробегает промежуток длиной 5π3 и проходит и через точку с cos 2x = 1, и через точку с cos 2x = −1, поэтому c принимает ВСЕ значения из [−1; 1].
Значит нужно, чтобы трёхчлен был отрицателен на всём [−1; 1]; ветви направлены вверх, поэтому достаточно проверить концы: 2 − b + k < 0 и 2 + b + k < 0, где b = a2 − 4a и k = a − 2 − a2.
Ответ: (5/2; +∞).
Умножая на него, получаем 2c2 − (a2 − 4a)c + (a − 2 − a2) < 0 — квадратный трёхчлен по c с положительным старшим коэффициентом.
На отрезке −2π; −7π6 аргумент 2x пробегает промежуток длиной 5π3 и проходит и через точку с cos 2x = 1, и через точку с cos 2x = −1, поэтому c принимает ВСЕ значения из [−1; 1].
Значит нужно, чтобы трёхчлен был отрицателен на всём [−1; 1]; ветви направлены вверх, поэтому достаточно проверить концы: 2 − b + k < 0 и 2 + b + k < 0, где b = a2 − 4a и k = a − 2 − a2.
Ответ: (5/2; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
a − (a2 − 2a)cos 2x + 23 − cos 4x + a2 < 1
содержит отрезок 0; 5π6.
a − (a2 − 2a)cos 2x + 23 − cos 4x + a2 < 1
содержит отрезок 0; 5π6.
Показать ответ
(3/2; +∞)
Решение
Обозначим c = cos 2x; тогда cos 4x = 2c2 − 1, и знаменатель равен 4 − 2c2 + a2 > 0 при любых значениях.
Умножая на него, получаем 2c2 − (a2 − 2a)c + (a − 2 − a2) < 0 — квадратный трёхчлен по c с положительным старшим коэффициентом.
На отрезке 0; 5π6 аргумент 2x пробегает промежуток длиной 5π3 и проходит и через точку с cos 2x = 1, и через точку с cos 2x = −1, поэтому c принимает ВСЕ значения из [−1; 1].
Значит нужно, чтобы трёхчлен был отрицателен на всём [−1; 1]; ветви направлены вверх, поэтому достаточно проверить концы: 2 − b + k < 0 и 2 + b + k < 0, где b = a2 − 2a и k = a − 2 − a2.
Ответ: (3/2; +∞).
Умножая на него, получаем 2c2 − (a2 − 2a)c + (a − 2 − a2) < 0 — квадратный трёхчлен по c с положительным старшим коэффициентом.
На отрезке 0; 5π6 аргумент 2x пробегает промежуток длиной 5π3 и проходит и через точку с cos 2x = 1, и через точку с cos 2x = −1, поэтому c принимает ВСЕ значения из [−1; 1].
Значит нужно, чтобы трёхчлен был отрицателен на всём [−1; 1]; ветви направлены вверх, поэтому достаточно проверить концы: 2 − b + k < 0 и 2 + b + k < 0, где b = a2 − 2a и k = a − 2 − a2.
Ответ: (3/2; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
a − (a2)cos 2x + 23 − cos 4x + a2 < 1
содержит отрезок −2π; −7π6.
a − (a2)cos 2x + 23 − cos 4x + a2 < 1
содержит отрезок −2π; −7π6.
Показать ответ
(−∞; 0)
Решение
Обозначим c = cos 2x; тогда cos 4x = 2c2 − 1, и знаменатель равен 4 − 2c2 + a2 > 0 при любых значениях.
Умножая на него, получаем 2c2 − (a2)c + (a − 2 − a2) < 0 — квадратный трёхчлен по c с положительным старшим коэффициентом.
На отрезке −2π; −7π6 аргумент 2x пробегает промежуток длиной 5π3 и проходит и через точку с cos 2x = 1, и через точку с cos 2x = −1, поэтому c принимает ВСЕ значения из [−1; 1].
Значит нужно, чтобы трёхчлен был отрицателен на всём [−1; 1]; ветви направлены вверх, поэтому достаточно проверить концы: 2 − b + k < 0 и 2 + b + k < 0, где b = a2 и k = a − 2 − a2.
Ответ: (−∞; 0).
Умножая на него, получаем 2c2 − (a2)c + (a − 2 − a2) < 0 — квадратный трёхчлен по c с положительным старшим коэффициентом.
На отрезке −2π; −7π6 аргумент 2x пробегает промежуток длиной 5π3 и проходит и через точку с cos 2x = 1, и через точку с cos 2x = −1, поэтому c принимает ВСЕ значения из [−1; 1].
Значит нужно, чтобы трёхчлен был отрицателен на всём [−1; 1]; ветви направлены вверх, поэтому достаточно проверить концы: 2 − b + k < 0 и 2 + b + k < 0, где b = a2 и k = a − 2 − a2.
Ответ: (−∞; 0).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
a − (a2 − 2a)cos 2x5 − cos 4x + a2 < 1
содержит отрезок π; 11π6.
a − (a2 − 2a)cos 2x5 − cos 4x + a2 < 1
содержит отрезок π; 11π6.
Показать ответ
(−4; +∞)
Решение
Обозначим c = cos 2x; тогда cos 4x = 2c2 − 1, и знаменатель равен 6 − 2c2 + a2 > 0 при любых значениях.
Умножая на него, получаем 2c2 − (a2 − 2a)c + (a − 6 − a2) < 0 — квадратный трёхчлен по c с положительным старшим коэффициентом.
На отрезке π; 11π6 аргумент 2x пробегает промежуток длиной 5π3 и проходит и через точку с cos 2x = 1, и через точку с cos 2x = −1, поэтому c принимает ВСЕ значения из [−1; 1].
Значит нужно, чтобы трёхчлен был отрицателен на всём [−1; 1]; ветви направлены вверх, поэтому достаточно проверить концы: 2 − b + k < 0 и 2 + b + k < 0, где b = a2 − 2a и k = a − 6 − a2.
Ответ: (−4; +∞).
Умножая на него, получаем 2c2 − (a2 − 2a)c + (a − 6 − a2) < 0 — квадратный трёхчлен по c с положительным старшим коэффициентом.
На отрезке π; 11π6 аргумент 2x пробегает промежуток длиной 5π3 и проходит и через точку с cos 2x = 1, и через точку с cos 2x = −1, поэтому c принимает ВСЕ значения из [−1; 1].
Значит нужно, чтобы трёхчлен был отрицателен на всём [−1; 1]; ветви направлены вверх, поэтому достаточно проверить концы: 2 − b + k < 0 и 2 + b + k < 0, где b = a2 − 2a и k = a − 6 − a2.
Ответ: (−4; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
a − (a2)cos 2x + 13 − cos 4x + a2 < 1
содержит отрезок −2π; −7π6.
a − (a2)cos 2x + 13 − cos 4x + a2 < 1
содержит отрезок −2π; −7π6.
Показать ответ
(−∞; 1)
Решение
Обозначим c = cos 2x; тогда cos 4x = 2c2 − 1, и знаменатель равен 4 − 2c2 + a2 > 0 при любых значениях.
Умножая на него, получаем 2c2 − (a2)c + (a − 3 − a2) < 0 — квадратный трёхчлен по c с положительным старшим коэффициентом.
На отрезке −2π; −7π6 аргумент 2x пробегает промежуток длиной 5π3 и проходит и через точку с cos 2x = 1, и через точку с cos 2x = −1, поэтому c принимает ВСЕ значения из [−1; 1].
Значит нужно, чтобы трёхчлен был отрицателен на всём [−1; 1]; ветви направлены вверх, поэтому достаточно проверить концы: 2 − b + k < 0 и 2 + b + k < 0, где b = a2 и k = a − 3 − a2.
Ответ: (−∞; 1).
Умножая на него, получаем 2c2 − (a2)c + (a − 3 − a2) < 0 — квадратный трёхчлен по c с положительным старшим коэффициентом.
На отрезке −2π; −7π6 аргумент 2x пробегает промежуток длиной 5π3 и проходит и через точку с cos 2x = 1, и через точку с cos 2x = −1, поэтому c принимает ВСЕ значения из [−1; 1].
Значит нужно, чтобы трёхчлен был отрицателен на всём [−1; 1]; ветви направлены вверх, поэтому достаточно проверить концы: 2 − b + k < 0 и 2 + b + k < 0, где b = a2 и k = a − 3 − a2.
Ответ: (−∞; 1).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.