Множество значений (√(a+1)−k cos3x+1)/(sin²3x+…) содержит [L; H] — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции
y = − 4cos 3x + 1sin23x + a + 2 + 2
содержит отрезок [2; 3].
y = − 4cos 3x + 1sin23x + a + 2 + 2
содержит отрезок [2; 3].
Показать ответ
[−1; −8/9]
Решение
Обозначим w = √(a + 1) ≥ 0 (значит a ≥ −1), v = 1 + w и c = cos 3x ∈ [−1; 1]. Так как sin23x = 1 − c2, а v2 = a + 2 + 2w, знаменатель равен v2 + 1 − c2 > 0, а числитель — v − 4c.
Найдём производную по c: её числитель равен −4c2 + 2cv − 4(v2 + 1), и его дискриминант 4(v2(1 − 16) − 16) отрицателен. Значит функция МОНОТОННА по c, и множество её значений — отрезок с концами при c = ±1.
При c = ±1 знаменатель равен v2, поэтому множество значений — это отрезок от v − 4v2 до v + 4v2.
Условие «содержит [2; 3]» равносильно двум неравенствам: левый конец ≤ 2 и правый ≥ 3. Каждое из них имеет вид A + B·w ⋛ 0 и решается точно.
Ответ: [−1; −8/9].
Найдём производную по c: её числитель равен −4c2 + 2cv − 4(v2 + 1), и его дискриминант 4(v2(1 − 16) − 16) отрицателен. Значит функция МОНОТОННА по c, и множество её значений — отрезок с концами при c = ±1.
При c = ±1 знаменатель равен v2, поэтому множество значений — это отрезок от v − 4v2 до v + 4v2.
Условие «содержит [2; 3]» равносильно двум неравенствам: левый конец ≤ 2 и правый ≥ 3. Каждое из них имеет вид A + B·w ⋛ 0 и решается точно.
Ответ: [−1; −8/9].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции
y = − 3cos 3x + 1sin23x + a + 2 + 2
содержит отрезок [1; 2].
y = − 3cos 3x + 1sin23x + a + 2 + 2
содержит отрезок [1; 2].
Показать ответ
[−1; −3/4]
Решение
Обозначим w = √(a + 1) ≥ 0 (значит a ≥ −1), v = 1 + w и c = cos 3x ∈ [−1; 1]. Так как sin23x = 1 − c2, а v2 = a + 2 + 2w, знаменатель равен v2 + 1 − c2 > 0, а числитель — v − 3c.
Найдём производную по c: её числитель равен −3c2 + 2cv − 3(v2 + 1), и его дискриминант 4(v2(1 − 9) − 9) отрицателен. Значит функция МОНОТОННА по c, и множество её значений — отрезок с концами при c = ±1.
При c = ±1 знаменатель равен v2, поэтому множество значений — это отрезок от v − 3v2 до v + 3v2.
Условие «содержит [1; 2]» равносильно двум неравенствам: левый конец ≤ 1 и правый ≥ 2. Каждое из них имеет вид A + B·w ⋛ 0 и решается точно.
Ответ: [−1; −3/4].
Найдём производную по c: её числитель равен −3c2 + 2cv − 3(v2 + 1), и его дискриминант 4(v2(1 − 9) − 9) отрицателен. Значит функция МОНОТОННА по c, и множество её значений — отрезок с концами при c = ±1.
При c = ±1 знаменатель равен v2, поэтому множество значений — это отрезок от v − 3v2 до v + 3v2.
Условие «содержит [1; 2]» равносильно двум неравенствам: левый конец ≤ 1 и правый ≥ 2. Каждое из них имеет вид A + B·w ⋛ 0 и решается точно.
Ответ: [−1; −3/4].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции
y = − 3cos 3x + 1sin23x + a + 2 + 2
содержит отрезок [1; 4].
y = − 3cos 3x + 1sin23x + a + 2 + 2
содержит отрезок [1; 4].
Показать ответ
{−1}
Решение
Обозначим w = √(a + 1) ≥ 0 (значит a ≥ −1), v = 1 + w и c = cos 3x ∈ [−1; 1]. Так как sin23x = 1 − c2, а v2 = a + 2 + 2w, знаменатель равен v2 + 1 − c2 > 0, а числитель — v − 3c.
Найдём производную по c: её числитель равен −3c2 + 2cv − 3(v2 + 1), и его дискриминант 4(v2(1 − 9) − 9) отрицателен. Значит функция МОНОТОННА по c, и множество её значений — отрезок с концами при c = ±1.
При c = ±1 знаменатель равен v2, поэтому множество значений — это отрезок от v − 3v2 до v + 3v2.
Условие «содержит [1; 4]» равносильно двум неравенствам: левый конец ≤ 1 и правый ≥ 4. Каждое из них имеет вид A + B·w ⋛ 0 и решается точно.
Ответ: {−1}.
Найдём производную по c: её числитель равен −3c2 + 2cv − 3(v2 + 1), и его дискриминант 4(v2(1 − 9) − 9) отрицателен. Значит функция МОНОТОННА по c, и множество её значений — отрезок с концами при c = ±1.
При c = ±1 знаменатель равен v2, поэтому множество значений — это отрезок от v − 3v2 до v + 3v2.
Условие «содержит [1; 4]» равносильно двум неравенствам: левый конец ≤ 1 и правый ≥ 4. Каждое из них имеет вид A + B·w ⋛ 0 и решается точно.
Ответ: {−1}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции
y = − 5cos 3x + 1sin23x + a + 2 + 3
содержит отрезок [1; 2].
y = − 5cos 3x + 1sin23x + a + 2 + 3
содержит отрезок [1; 2].
Показать ответ
[−1; −3/4]
Решение
Обозначим w = √(a + 1) ≥ 0 (значит a ≥ −1), v = 1 + w и c = cos 3x ∈ [−1; 1]. Так как sin23x = 1 − c2, а v2 = a + 2 + 2w, знаменатель равен v2 + 2 − c2 > 0, а числитель — v − 5c.
Найдём производную по c: её числитель равен −5c2 + 2cv − 5(v2 + 2), и его дискриминант 4(v2(1 − 25) − 50) отрицателен. Значит функция МОНОТОННА по c, и множество её значений — отрезок с концами при c = ±1.
При c = ±1 знаменатель равен v2 + 1, поэтому множество значений — это отрезок от v − 5v2 + 1 до v + 5v2 + 1.
Условие «содержит [1; 2]» равносильно двум неравенствам: левый конец ≤ 1 и правый ≥ 2. Каждое из них имеет вид A + B·w ⋛ 0 и решается точно.
Ответ: [−1; −3/4].
Найдём производную по c: её числитель равен −5c2 + 2cv − 5(v2 + 2), и его дискриминант 4(v2(1 − 25) − 50) отрицателен. Значит функция МОНОТОННА по c, и множество её значений — отрезок с концами при c = ±1.
При c = ±1 знаменатель равен v2 + 1, поэтому множество значений — это отрезок от v − 5v2 + 1 до v + 5v2 + 1.
Условие «содержит [1; 2]» равносильно двум неравенствам: левый конец ≤ 1 и правый ≥ 2. Каждое из них имеет вид A + B·w ⋛ 0 и решается точно.
Ответ: [−1; −3/4].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции
y = − cos 3x + 1sin23x + a + 2 + 2
содержит отрезок [0; 2].
y = − cos 3x + 1sin23x + a + 2 + 2
содержит отрезок [0; 2].
Показать ответ
{−1}
Решение
Обозначим w = √(a + 1) ≥ 0 (значит a ≥ −1), v = 1 + w и c = cos 3x ∈ [−1; 1]. Так как sin23x = 1 − c2, а v2 = a + 2 + 2w, знаменатель равен v2 + 1 − c2 > 0, а числитель — v − c.
Найдём производную по c: её числитель равен −c2 + 2cv − (v2 + 1), и его дискриминант 4(v2(1 − 1) − 1) отрицателен. Значит функция МОНОТОННА по c, и множество её значений — отрезок с концами при c = ±1.
При c = ±1 знаменатель равен v2, поэтому множество значений — это отрезок от v − 1v2 до v + 1v2.
Условие «содержит [0; 2]» равносильно двум неравенствам: левый конец ≤ 0 и правый ≥ 2. Каждое из них имеет вид A + B·w ⋛ 0 и решается точно.
Ответ: {−1}.
Найдём производную по c: её числитель равен −c2 + 2cv − (v2 + 1), и его дискриминант 4(v2(1 − 1) − 1) отрицателен. Значит функция МОНОТОННА по c, и множество её значений — отрезок с концами при c = ±1.
При c = ±1 знаменатель равен v2, поэтому множество значений — это отрезок от v − 1v2 до v + 1v2.
Условие «содержит [0; 2]» равносильно двум неравенствам: левый конец ≤ 0 и правый ≥ 2. Каждое из них имеет вид A + B·w ⋛ 0 и решается точно.
Ответ: {−1}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.