Множество значений (A+Bt)/(t²+m²) содержит отрезок [0; h] — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции
y = 8a + 80x − 10ax100x2 + 20ax + a2 + 4
содержит отрезок [0; 2].
y = 8a + 80x − 10ax100x2 + 20ax + a2 + 4
содержит отрезок [0; 2].
Показать ответ
(−∞; 0] ∪ [16/9; +∞)
Решение
Обозначим t = 10x + a. Тогда знаменатель равен t2 + 4, а числитель — линейной функцией: 8a + 80x − 10ax = a2 + (8 − a)t.
Значение y достигается ⟺ уравнение y(t2 + 4) = A + Bt имеет корень по t, где A = a2 и B = 8 − a. Это квадратное уравнение yt2 − Bt + (4y − A) = 0, и его дискриминант B2 − 4y(4y − A) ≥ 0.
Отсюда множество значений — отрезок с концами A ± 8. Левый конец всегда неположителен, поэтому условие «отрезок [0; 2] содержится» сводится к неравенству для правого конца: B2 + 8A ≥ 64.
Подставляя A и B, получаем 9a2 − 16a ≥ 0.
Ответ: (−∞; 0] ∪ [16/9; +∞).
Значение y достигается ⟺ уравнение y(t2 + 4) = A + Bt имеет корень по t, где A = a2 и B = 8 − a. Это квадратное уравнение yt2 − Bt + (4y − A) = 0, и его дискриминант B2 − 4y(4y − A) ≥ 0.
Отсюда множество значений — отрезок с концами A ± 8. Левый конец всегда неположителен, поэтому условие «отрезок [0; 2] содержится» сводится к неравенству для правого конца: B2 + 8A ≥ 64.
Подставляя A и B, получаем 9a2 − 16a ≥ 0.
Ответ: (−∞; 0] ∪ [16/9; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции
y = 10a + 72x − 6ax36x2 + 12ax + a2 + 25
содержит отрезок [0; 2].
y = 10a + 72x − 6ax36x2 + 12ax + a2 + 25
содержит отрезок [0; 2].
Показать ответ
(−∞; −32/9] ∪ [8; +∞)
Решение
Обозначим t = 6x + a. Тогда знаменатель равен t2 + 25, а числитель — линейной функцией: 10a + 72x − 6ax = a2 − 2a + (12 − a)t.
Значение y достигается ⟺ уравнение y(t2 + 25) = A + Bt имеет корень по t, где A = a2 − 2a и B = 12 − a. Это квадратное уравнение yt2 − Bt + (25y − A) = 0, и его дискриминант B2 − 4y(25y − A) ≥ 0.
Отсюда множество значений — отрезок с концами A ± 50. Левый конец всегда неположителен, поэтому условие «отрезок [0; 2] содержится» сводится к неравенству для правого конца: B2 + 8A ≥ 400.
Подставляя A и B, получаем 9a2 − 40a − 256 ≥ 0.
Ответ: (−∞; −32/9] ∪ [8; +∞).
Значение y достигается ⟺ уравнение y(t2 + 25) = A + Bt имеет корень по t, где A = a2 − 2a и B = 12 − a. Это квадратное уравнение yt2 − Bt + (25y − A) = 0, и его дискриминант B2 − 4y(25y − A) ≥ 0.
Отсюда множество значений — отрезок с концами A ± 50. Левый конец всегда неположителен, поэтому условие «отрезок [0; 2] содержится» сводится к неравенству для правого конца: B2 + 8A ≥ 400.
Подставляя A и B, получаем 9a2 − 40a − 256 ≥ 0.
Ответ: (−∞; −32/9] ∪ [8; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции
y = 6a + 48x − 4ax16x2 + 8ax + a2 + 9
содержит отрезок [0; 1].
y = 6a + 48x − 4ax16x2 + 8ax + a2 + 9
содержит отрезок [0; 1].
Показать ответ
(−∞; 18/5] ∪ [6; +∞)
Решение
Обозначим t = 4x + a. Тогда знаменатель равен t2 + 9, а числитель — линейной функцией: 6a + 48x − 4ax = a2 − 6a + (12 − a)t.
Значение y достигается ⟺ уравнение y(t2 + 9) = A + Bt имеет корень по t, где A = a2 − 6a и B = 12 − a. Это квадратное уравнение yt2 − Bt + (9y − A) = 0, и его дискриминант B2 − 4y(9y − A) ≥ 0.
Отсюда множество значений — отрезок с концами A ± 18. Левый конец всегда неположителен, поэтому условие «отрезок [0; 1] содержится» сводится к неравенству для правого конца: B2 + 4A ≥ 36.
Подставляя A и B, получаем 5a2 − 48a + 108 ≥ 0.
Ответ: (−∞; 18/5] ∪ [6; +∞).
Значение y достигается ⟺ уравнение y(t2 + 9) = A + Bt имеет корень по t, где A = a2 − 6a и B = 12 − a. Это квадратное уравнение yt2 − Bt + (9y − A) = 0, и его дискриминант B2 − 4y(9y − A) ≥ 0.
Отсюда множество значений — отрезок с концами A ± 18. Левый конец всегда неположителен, поэтому условие «отрезок [0; 1] содержится» сводится к неравенству для правого конца: B2 + 4A ≥ 36.
Подставляя A и B, получаем 5a2 − 48a + 108 ≥ 0.
Ответ: (−∞; 18/5] ∪ [6; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции
y = 4a + 60x − 6ax36x2 + 12ax + a2 + 1
содержит отрезок [0; 1].
y = 4a + 60x − 6ax36x2 + 12ax + a2 + 1
содержит отрезок [0; 1].
Показать ответ
(−∞; 4] ∪ [24/5; +∞)
Решение
Обозначим t = 6x + a. Тогда знаменатель равен t2 + 1, а числитель — линейной функцией: 4a + 60x − 6ax = a2 − 6a + (10 − a)t.
Значение y достигается ⟺ уравнение y(t2 + 1) = A + Bt имеет корень по t, где A = a2 − 6a и B = 10 − a. Это квадратное уравнение yt2 − Bt + (y − A) = 0, и его дискриминант B2 − 4y(y − A) ≥ 0.
Отсюда множество значений — отрезок с концами A ± 2. Левый конец всегда неположителен, поэтому условие «отрезок [0; 1] содержится» сводится к неравенству для правого конца: B2 + 4A ≥ 4.
Подставляя A и B, получаем 5a2 − 44a + 96 ≥ 0.
Ответ: (−∞; 4] ∪ [24/5; +∞).
Значение y достигается ⟺ уравнение y(t2 + 1) = A + Bt имеет корень по t, где A = a2 − 6a и B = 10 − a. Это квадратное уравнение yt2 − Bt + (y − A) = 0, и его дискриминант B2 − 4y(y − A) ≥ 0.
Отсюда множество значений — отрезок с концами A ± 2. Левый конец всегда неположителен, поэтому условие «отрезок [0; 1] содержится» сводится к неравенству для правого конца: B2 + 4A ≥ 4.
Подставляя A и B, получаем 5a2 − 44a + 96 ≥ 0.
Ответ: (−∞; 4] ∪ [24/5; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции
y = 10a + 48x − 6ax36x2 + 12ax + a2 + 25
содержит отрезок [0; 1].
y = 10a + 48x − 6ax36x2 + 12ax + a2 + 25
содержит отрезок [0; 1].
Показать ответ
(−∞; −2] ∪ [18/5; +∞)
Решение
Обозначим t = 6x + a. Тогда знаменатель равен t2 + 25, а числитель — линейной функцией: 10a + 48x − 6ax = a2 + 2a + (8 − a)t.
Значение y достигается ⟺ уравнение y(t2 + 25) = A + Bt имеет корень по t, где A = a2 + 2a и B = 8 − a. Это квадратное уравнение yt2 − Bt + (25y − A) = 0, и его дискриминант B2 − 4y(25y − A) ≥ 0.
Отсюда множество значений — отрезок с концами A ± 50. Левый конец всегда неположителен, поэтому условие «отрезок [0; 1] содержится» сводится к неравенству для правого конца: B2 + 4A ≥ 100.
Подставляя A и B, получаем 5a2 − 8a − 36 ≥ 0.
Ответ: (−∞; −2] ∪ [18/5; +∞).
Значение y достигается ⟺ уравнение y(t2 + 25) = A + Bt имеет корень по t, где A = a2 + 2a и B = 8 − a. Это квадратное уравнение yt2 − Bt + (25y − A) = 0, и его дискриминант B2 − 4y(25y − A) ≥ 0.
Отсюда множество значений — отрезок с концами A ± 50. Левый конец всегда неположителен, поэтому условие «отрезок [0; 1] содержится» сводится к неравенству для правого конца: B2 + 4A ≥ 100.
Подставляя A и B, получаем 5a2 − 8a − 36 ≥ 0.
Ответ: (−∞; −2] ∪ [18/5; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.