Множитель при корне: x²+(x−p)√(kx−a) = px — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«Ровно один корень на отрезке». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + (x − 1)· = x
имеет ровно один корень на отрезке [−1; 1].
x2 + (x − 1)· = x
имеет ровно один корень на отрезке [−1; 1].
Показать ответ
(−∞; −4) ∪ (0; 3]
Решение
Перенесём x влево: x2 − x + (x − 1)√(3x − a) = 0 ⟺ (x − 1)(x + √(3x − a)) = 0.
Первый множитель даёт x = 1 — годится, если подкоренное неотрицательно: 3 − a ≥ 0, то есть a ≤ 3.
Второй даёт √(3x − a) = −x, что возможно лишь при x ≤ 0 и x2 = 3x − a, то есть x2 − 3x + a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [−1; 1].
Ответ: (−∞; −4) ∪ (0; 3].
Первый множитель даёт x = 1 — годится, если подкоренное неотрицательно: 3 − a ≥ 0, то есть a ≤ 3.
Второй даёт √(3x − a) = −x, что возможно лишь при x ≤ 0 и x2 = 3x − a, то есть x2 − 3x + a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [−1; 1].
Ответ: (−∞; −4) ∪ (0; 3].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + (x − 1)· = x
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
x2 + (x − 1)· = x
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ (0; 4]
Решение
Перенесём x влево: x2 − x + (x − 1)√(4x − a) = 0 ⟺ (x − 1)(x + √(4x − a)) = 0.
Первый множитель даёт x = 1 — годится, если подкоренное неотрицательно: 4 − a ≥ 0, то есть a ≤ 4.
Второй даёт √(4x − a) = −x, что возможно лишь при x ≤ 0 и x2 = 4x − a, то есть x2 − 4x + a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 1].
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 4].
Первый множитель даёт x = 1 — годится, если подкоренное неотрицательно: 4 − a ≥ 0, то есть a ≤ 4.
Второй даёт √(4x − a) = −x, что возможно лишь при x ≤ 0 и x2 = 4x − a, то есть x2 − 4x + a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 1].
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 4].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + (x − 2)· = 2x
имеет ровно один корень на отрезке [−1; 2].
x2 + (x − 2)· = 2x
имеет ровно один корень на отрезке [−1; 2].
Показать ответ
(−∞; −7) ∪ (0; 12]
Решение
Перенесём 2x влево: x2 − 2x + (x − 2)√(6x − a) = 0 ⟺ (x − 2)(x + √(6x − a)) = 0.
Первый множитель даёт x = 2 — годится, если подкоренное неотрицательно: 12 − a ≥ 0, то есть a ≤ 12.
Второй даёт √(6x − a) = −x, что возможно лишь при x ≤ 0 и x2 = 6x − a, то есть x2 − 6x + a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [−1; 2].
Ответ: (−∞; −7) ∪ (0; 12].
Первый множитель даёт x = 2 — годится, если подкоренное неотрицательно: 12 − a ≥ 0, то есть a ≤ 12.
Второй даёт √(6x − a) = −x, что возможно лишь при x ≤ 0 и x2 = 6x − a, то есть x2 − 6x + a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [−1; 2].
Ответ: (−∞; −7) ∪ (0; 12].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + (x − 2)· = 2x
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
x2 + (x − 2)· = 2x
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ (0; 8]
Решение
Перенесём 2x влево: x2 − 2x + (x − 2)√(4x − a) = 0 ⟺ (x − 2)(x + √(4x − a)) = 0.
Первый множитель даёт x = 2 — годится, если подкоренное неотрицательно: 8 − a ≥ 0, то есть a ≤ 8.
Второй даёт √(4x − a) = −x, что возможно лишь при x ≤ 0 и x2 = 4x − a, то есть x2 − 4x + a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 2].
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 8].
Первый множитель даёт x = 2 — годится, если подкоренное неотрицательно: 8 − a ≥ 0, то есть a ≤ 8.
Второй даёт √(4x − a) = −x, что возможно лишь при x ≤ 0 и x2 = 4x − a, то есть x2 − 4x + a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 2].
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 8].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + (x − 1)· = x
имеет ровно один корень на отрезке [−2; 1].
x2 + (x − 1)· = x
имеет ровно один корень на отрезке [−2; 1].
Показать ответ
(−∞; −12) ∪ (0; 4]
Решение
Перенесём x влево: x2 − x + (x − 1)√(4x − a) = 0 ⟺ (x − 1)(x + √(4x − a)) = 0.
Первый множитель даёт x = 1 — годится, если подкоренное неотрицательно: 4 − a ≥ 0, то есть a ≤ 4.
Второй даёт √(4x − a) = −x, что возможно лишь при x ≤ 0 и x2 = 4x − a, то есть x2 − 4x + a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [−2; 1].
Ответ: (−∞; −12) ∪ (0; 4].
Первый множитель даёт x = 1 — годится, если подкоренное неотрицательно: 4 − a ≥ 0, то есть a ≤ 4.
Второй даёт √(4x − a) = −x, что возможно лишь при x ≤ 0 и x2 = 4x − a, то есть x2 − 4x + a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [−2; 1].
Ответ: (−∞; −12) ∪ (0; 4].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.