Модуль разности корней наибольший — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Квадрат по замене, расстояние между корнями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения
x2 − 4x + 1 + a2 − 8a = 0
принимает наибольшее значение.
x2 − 4x + 1 + a2 − 8a = 0
принимает наибольшее значение.
Показать ответ
{4}
Решение
Дискриминант уравнения равен 4 − (1 + a2 − 8a) = −(a2 − 8a − 3) = 19 − (a − 4)2.
Корни существуют, когда он неотрицателен, а |x1 − x2| = , поэтому модуль разности тем больше, чем больше D.
Наибольшее значение D равно 19 и достигается ровно при a = 4; тогда |x1 − x2| = 2.
Ответ: {4}.
Корни существуют, когда он неотрицателен, а |x1 − x2| = , поэтому модуль разности тем больше, чем больше D.
Наибольшее значение D равно 19 и достигается ровно при a = 4; тогда |x1 − x2| = 2.
Ответ: {4}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения
x2 − 8x + 19 + a2 − 6a = 0
принимает наибольшее значение.
x2 − 8x + 19 + a2 − 6a = 0
принимает наибольшее значение.
Показать ответ
{3}
Решение
Дискриминант уравнения равен 16 − (19 + a2 − 6a) = −(a2 − 6a + 3) = 6 − (a − 3)2.
Корни существуют, когда он неотрицателен, а |x1 − x2| = , поэтому модуль разности тем больше, чем больше D.
Наибольшее значение D равно 6 и достигается ровно при a = 3; тогда |x1 − x2| = 2.
Ответ: {3}.
Корни существуют, когда он неотрицателен, а |x1 − x2| = , поэтому модуль разности тем больше, чем больше D.
Наибольшее значение D равно 6 и достигается ровно при a = 3; тогда |x1 − x2| = 2.
Ответ: {3}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения
x2 − 10x + 22 + a2 − 8a = 0
принимает наибольшее значение.
x2 − 10x + 22 + a2 − 8a = 0
принимает наибольшее значение.
Показать ответ
{4}
Решение
Дискриминант уравнения равен 25 − (22 + a2 − 8a) = −(a2 − 8a − 3) = 19 − (a − 4)2.
Корни существуют, когда он неотрицателен, а |x1 − x2| = , поэтому модуль разности тем больше, чем больше D.
Наибольшее значение D равно 19 и достигается ровно при a = 4; тогда |x1 − x2| = 2.
Ответ: {4}.
Корни существуют, когда он неотрицателен, а |x1 − x2| = , поэтому модуль разности тем больше, чем больше D.
Наибольшее значение D равно 19 и достигается ровно при a = 4; тогда |x1 − x2| = 2.
Ответ: {4}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения
x2 − 4x + 2 + a2 − 6a = 0
принимает наибольшее значение.
x2 − 4x + 2 + a2 − 6a = 0
принимает наибольшее значение.
Показать ответ
{3}
Решение
Дискриминант уравнения равен 4 − (2 + a2 − 6a) = −(a2 − 6a − 2) = 11 − (a − 3)2.
Корни существуют, когда он неотрицателен, а |x1 − x2| = , поэтому модуль разности тем больше, чем больше D.
Наибольшее значение D равно 11 и достигается ровно при a = 3; тогда |x1 − x2| = 2.
Ответ: {3}.
Корни существуют, когда он неотрицателен, а |x1 − x2| = , поэтому модуль разности тем больше, чем больше D.
Наибольшее значение D равно 11 и достигается ровно при a = 3; тогда |x1 − x2| = 2.
Ответ: {3}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения
x2 − 10x + 23 + a2 − 2a = 0
принимает наибольшее значение.
x2 − 10x + 23 + a2 − 2a = 0
принимает наибольшее значение.
Показать ответ
{1}
Решение
Дискриминант уравнения равен 25 − (23 + a2 − 2a) = −(a2 − 2a − 2) = 3 − (a − 1)2.
Корни существуют, когда он неотрицателен, а |x1 − x2| = , поэтому модуль разности тем больше, чем больше D.
Наибольшее значение D равно 3 и достигается ровно при a = 1; тогда |x1 − x2| = 2.
Ответ: {1}.
Корни существуют, когда он неотрицателен, а |x1 − x2| = , поэтому модуль разности тем больше, чем больше D.
Наибольшее значение D равно 3 и достигается ровно при a = 1; тогда |x1 − x2| = 2.
Ответ: {1}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.