Наибольшее значение |x−a| − kx² не меньше C — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Наибольшее и наименьшее значения функции. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции
f(x) = |x − a| − 3x2
не меньше 3.
f(x) = |x − a| − 3x2
не меньше 3.
Показать ответ
(−∞; −35/12] ∪ [35/12; +∞)
Решение
Точка излома одна — x = a. При x ≥ a получаем f(x) = −3x2 + x − a (парабола ветвями вниз с вершиной x = 1/6), при x ≤ a — f(x) = −3x2 − x + a (вершина x = −1/6).
Если вершина попадает на свой кусок, значение в ней равно 1/12 − a (правая ветвь) или 1/12 + a (левая); иначе максимум куска достигается в точке излома, где f(a) = −3a2.
Хотя бы одна из вершин всегда «своя», поэтому наибольшее значение равно 1/12 + |a|.
Условие 1/12 + |a| ≥ 3 даёт ответ.
Ответ: (−∞; −35/12] ∪ [35/12; +∞).
Если вершина попадает на свой кусок, значение в ней равно 1/12 − a (правая ветвь) или 1/12 + a (левая); иначе максимум куска достигается в точке излома, где f(a) = −3a2.
Хотя бы одна из вершин всегда «своя», поэтому наибольшее значение равно 1/12 + |a|.
Условие 1/12 + |a| ≥ 3 даёт ответ.
Ответ: (−∞; −35/12] ∪ [35/12; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции
f(x) = |x − a| − x2
не меньше 1.
f(x) = |x − a| − x2
не меньше 1.
Показать ответ
(−∞; −3/4] ∪ [3/4; +∞)
Решение
Точка излома одна — x = a. При x ≥ a получаем f(x) = −x2 + x − a (парабола ветвями вниз с вершиной x = 1/2), при x ≤ a — f(x) = −x2 − x + a (вершина x = −1/2).
Если вершина попадает на свой кусок, значение в ней равно 1/4 − a (правая ветвь) или 1/4 + a (левая); иначе максимум куска достигается в точке излома, где f(a) = −a2.
Хотя бы одна из вершин всегда «своя», поэтому наибольшее значение равно 1/4 + |a|.
Условие 1/4 + |a| ≥ 1 даёт ответ.
Ответ: (−∞; −3/4] ∪ [3/4; +∞).
Если вершина попадает на свой кусок, значение в ней равно 1/4 − a (правая ветвь) или 1/4 + a (левая); иначе максимум куска достигается в точке излома, где f(a) = −a2.
Хотя бы одна из вершин всегда «своя», поэтому наибольшее значение равно 1/4 + |a|.
Условие 1/4 + |a| ≥ 1 даёт ответ.
Ответ: (−∞; −3/4] ∪ [3/4; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции
f(x) = |x − a| − x2
не меньше 2.
f(x) = |x − a| − x2
не меньше 2.
Показать ответ
(−∞; −7/4] ∪ [7/4; +∞)
Решение
Точка излома одна — x = a. При x ≥ a получаем f(x) = −x2 + x − a (парабола ветвями вниз с вершиной x = 1/2), при x ≤ a — f(x) = −x2 − x + a (вершина x = −1/2).
Если вершина попадает на свой кусок, значение в ней равно 1/4 − a (правая ветвь) или 1/4 + a (левая); иначе максимум куска достигается в точке излома, где f(a) = −a2.
Хотя бы одна из вершин всегда «своя», поэтому наибольшее значение равно 1/4 + |a|.
Условие 1/4 + |a| ≥ 2 даёт ответ.
Ответ: (−∞; −7/4] ∪ [7/4; +∞).
Если вершина попадает на свой кусок, значение в ней равно 1/4 − a (правая ветвь) или 1/4 + a (левая); иначе максимум куска достигается в точке излома, где f(a) = −a2.
Хотя бы одна из вершин всегда «своя», поэтому наибольшее значение равно 1/4 + |a|.
Условие 1/4 + |a| ≥ 2 даёт ответ.
Ответ: (−∞; −7/4] ∪ [7/4; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции
f(x) = |x − a| − 2x2
не меньше 4.
f(x) = |x − a| − 2x2
не меньше 4.
Показать ответ
(−∞; −31/8] ∪ [31/8; +∞)
Решение
Точка излома одна — x = a. При x ≥ a получаем f(x) = −2x2 + x − a (парабола ветвями вниз с вершиной x = 1/4), при x ≤ a — f(x) = −2x2 − x + a (вершина x = −1/4).
Если вершина попадает на свой кусок, значение в ней равно 1/8 − a (правая ветвь) или 1/8 + a (левая); иначе максимум куска достигается в точке излома, где f(a) = −2a2.
Хотя бы одна из вершин всегда «своя», поэтому наибольшее значение равно 1/8 + |a|.
Условие 1/8 + |a| ≥ 4 даёт ответ.
Ответ: (−∞; −31/8] ∪ [31/8; +∞).
Если вершина попадает на свой кусок, значение в ней равно 1/8 − a (правая ветвь) или 1/8 + a (левая); иначе максимум куска достигается в точке излома, где f(a) = −2a2.
Хотя бы одна из вершин всегда «своя», поэтому наибольшее значение равно 1/8 + |a|.
Условие 1/8 + |a| ≥ 4 даёт ответ.
Ответ: (−∞; −31/8] ∪ [31/8; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции
f(x) = |x − a| − 2x2
не меньше 2.
f(x) = |x − a| − 2x2
не меньше 2.
Показать ответ
(−∞; −15/8] ∪ [15/8; +∞)
Решение
Точка излома одна — x = a. При x ≥ a получаем f(x) = −2x2 + x − a (парабола ветвями вниз с вершиной x = 1/4), при x ≤ a — f(x) = −2x2 − x + a (вершина x = −1/4).
Если вершина попадает на свой кусок, значение в ней равно 1/8 − a (правая ветвь) или 1/8 + a (левая); иначе максимум куска достигается в точке излома, где f(a) = −2a2.
Хотя бы одна из вершин всегда «своя», поэтому наибольшее значение равно 1/8 + |a|.
Условие 1/8 + |a| ≥ 2 даёт ответ.
Ответ: (−∞; −15/8] ∪ [15/8; +∞).
Если вершина попадает на свой кусок, значение в ней равно 1/8 − a (правая ветвь) или 1/8 + a (левая); иначе максимум куска достигается в точке излома, где f(a) = −2a2.
Хотя бы одна из вершин всегда «своя», поэтому наибольшее значение равно 1/8 + |a|.
Условие 1/8 + |a| ≥ 2 даёт ответ.
Ответ: (−∞; −15/8] ∪ [15/8; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.