Наименьшее натуральное a: расстояние между крайними корнями ≥ d — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения
(x − a + 5)(x2 − ax + 5a − 37) = 0
не меньше 13.
(x − a + 5)(x2 − ax + 5a − 37) = 0
не меньше 13.
Показать ответ
21
Решение
Первый множитель даёт корень x = a − 5. Дискриминант второго равен D = a2 − 20a + 148 = (a − 10)2 + 48 > 0, поэтому у трёхчлена всегда два корня a ± 2.
Проверим, что корень a − 5 лежит МЕЖДУ ними: это равносильно D > (a − 10)2, то есть 48 > 0 — верно всегда.
Значит наибольший и наименьший корни — это как раз корни трёхчлена, а расстояние между ними равно √D.
Условие √D ≥ 13 даёт a2 − 20a + -21 ≥ 0, то есть a ≤ −1 или a ≥ 21.
Натуральных чисел в первом промежутке нет, поэтому наименьшее подходящее натуральное a равно 21.
Ответ: 21.
Проверим, что корень a − 5 лежит МЕЖДУ ними: это равносильно D > (a − 10)2, то есть 48 > 0 — верно всегда.
Значит наибольший и наименьший корни — это как раз корни трёхчлена, а расстояние между ними равно √D.
Условие √D ≥ 13 даёт a2 − 20a + -21 ≥ 0, то есть a ≤ −1 или a ≥ 21.
Натуральных чисел в первом промежутке нет, поэтому наименьшее подходящее натуральное a равно 21.
Ответ: 21.
Пример 2
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения
(x − a + 3)(x2 − ax + 3a − 17) = 0
не меньше 9.
(x − a + 3)(x2 − ax + 3a − 17) = 0
не меньше 9.
Показать ответ
13
Решение
Первый множитель даёт корень x = a − 3. Дискриминант второго равен D = a2 − 12a + 68 = (a − 6)2 + 32 > 0, поэтому у трёхчлена всегда два корня a ± 2.
Проверим, что корень a − 3 лежит МЕЖДУ ними: это равносильно D > (a − 6)2, то есть 32 > 0 — верно всегда.
Значит наибольший и наименьший корни — это как раз корни трёхчлена, а расстояние между ними равно √D.
Условие √D ≥ 9 даёт a2 − 12a + -13 ≥ 0, то есть a ≤ −1 или a ≥ 13.
Натуральных чисел в первом промежутке нет, поэтому наименьшее подходящее натуральное a равно 13.
Ответ: 13.
Проверим, что корень a − 3 лежит МЕЖДУ ними: это равносильно D > (a − 6)2, то есть 32 > 0 — верно всегда.
Значит наибольший и наименьший корни — это как раз корни трёхчлена, а расстояние между ними равно √D.
Условие √D ≥ 9 даёт a2 − 12a + -13 ≥ 0, то есть a ≤ −1 или a ≥ 13.
Натуральных чисел в первом промежутке нет, поэтому наименьшее подходящее натуральное a равно 13.
Ответ: 13.
Пример 3
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения
(x − a + 3)(x2 − ax + 3a − 20) = 0
не меньше 12.
(x − a + 3)(x2 − ax + 3a − 20) = 0
не меньше 12.
Показать ответ
16
Решение
Первый множитель даёт корень x = a − 3. Дискриминант второго равен D = a2 − 12a + 80 = (a − 6)2 + 44 > 0, поэтому у трёхчлена всегда два корня a ± 2.
Проверим, что корень a − 3 лежит МЕЖДУ ними: это равносильно D > (a − 6)2, то есть 44 > 0 — верно всегда.
Значит наибольший и наименьший корни — это как раз корни трёхчлена, а расстояние между ними равно √D.
Условие √D ≥ 12 даёт a2 − 12a + -64 ≥ 0, то есть a ≤ −4 или a ≥ 16.
Натуральных чисел в первом промежутке нет, поэтому наименьшее подходящее натуральное a равно 16.
Ответ: 16.
Проверим, что корень a − 3 лежит МЕЖДУ ними: это равносильно D > (a − 6)2, то есть 44 > 0 — верно всегда.
Значит наибольший и наименьший корни — это как раз корни трёхчлена, а расстояние между ними равно √D.
Условие √D ≥ 12 даёт a2 − 12a + -64 ≥ 0, то есть a ≤ −4 или a ≥ 16.
Натуральных чисел в первом промежутке нет, поэтому наименьшее подходящее натуральное a равно 16.
Ответ: 16.
Пример 4
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения
(x − a + 2)(x2 − ax + 2a − 20) = 0
не меньше 10.
(x − a + 2)(x2 − ax + 2a − 20) = 0
не меньше 10.
Показать ответ
10
Решение
Первый множитель даёт корень x = a − 2. Дискриминант второго равен D = a2 − 8a + 80 = (a − 4)2 + 64 > 0, поэтому у трёхчлена всегда два корня a ± 2.
Проверим, что корень a − 2 лежит МЕЖДУ ними: это равносильно D > (a − 4)2, то есть 64 > 0 — верно всегда.
Значит наибольший и наименьший корни — это как раз корни трёхчлена, а расстояние между ними равно √D.
Условие √D ≥ 10 даёт a2 − 8a + -20 ≥ 0, то есть a ≤ −2 или a ≥ 10.
Натуральных чисел в первом промежутке нет, поэтому наименьшее подходящее натуральное a равно 10.
Ответ: 10.
Проверим, что корень a − 2 лежит МЕЖДУ ними: это равносильно D > (a − 4)2, то есть 64 > 0 — верно всегда.
Значит наибольший и наименьший корни — это как раз корни трёхчлена, а расстояние между ними равно √D.
Условие √D ≥ 10 даёт a2 − 8a + -20 ≥ 0, то есть a ≤ −2 или a ≥ 10.
Натуральных чисел в первом промежутке нет, поэтому наименьшее подходящее натуральное a равно 10.
Ответ: 10.
Пример 5
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения
(x − a + 2)(x2 − ax + 2a − 26) = 0
не меньше 13.
(x − a + 2)(x2 − ax + 2a − 26) = 0
не меньше 13.
Показать ответ
13
Решение
Первый множитель даёт корень x = a − 2. Дискриминант второго равен D = a2 − 8a + 104 = (a − 4)2 + 88 > 0, поэтому у трёхчлена всегда два корня a ± 2.
Проверим, что корень a − 2 лежит МЕЖДУ ними: это равносильно D > (a − 4)2, то есть 88 > 0 — верно всегда.
Значит наибольший и наименьший корни — это как раз корни трёхчлена, а расстояние между ними равно √D.
Условие √D ≥ 13 даёт a2 − 8a + -65 ≥ 0, то есть a ≤ −5 или a ≥ 13.
Натуральных чисел в первом промежутке нет, поэтому наименьшее подходящее натуральное a равно 13.
Ответ: 13.
Проверим, что корень a − 2 лежит МЕЖДУ ними: это равносильно D > (a − 4)2, то есть 88 > 0 — верно всегда.
Значит наибольший и наименьший корни — это как раз корни трёхчлена, а расстояние между ними равно √D.
Условие √D ≥ 13 даёт a2 − 8a + -65 ≥ 0, то есть a ≤ −5 или a ≥ 13.
Натуральных чисел в первом промежутке нет, поэтому наименьшее подходящее натуральное a равно 13.
Ответ: 13.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.