Наименьшее значение (αa+β)x + γa+δ + |x²−px+q| — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Наибольшее и наименьшее значения функции. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = ax + 1 + |x2 − 6x + 5|
больше 2.
f(x) = ax + 1 + |x2 − 6x + 5|
больше 2.
Показать ответ
(1; 10)
Решение
Трёхчлен под модулем раскладывается: x2 − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5), поэтому точки излома — x = 1 и x = 5.
Вне отрезка [1; 5] функция равна x2 + (a − 6)x + 5 + 1 — парабола ветвями ВВЕРХ; внутри отрезка знак модуля меняется, и парабола идёт ветвями ВНИЗ, значит там минимум достигается на конце.
В самих точках излома модуль равен нулю: f(1) и f(5) — линейные функции a.
Значит наименьшее значение — это меньшее из f(1), f(5) и значения в вершине крайнего куска (если вершина действительно лежит вне отрезка).
Сравнивая его с 2, получаем ответ.
Ответ: (1; 10).
Вне отрезка [1; 5] функция равна x2 + (a − 6)x + 5 + 1 — парабола ветвями ВВЕРХ; внутри отрезка знак модуля меняется, и парабола идёт ветвями ВНИЗ, значит там минимум достигается на конце.
В самих точках излома модуль равен нулю: f(1) и f(5) — линейные функции a.
Значит наименьшее значение — это меньшее из f(1), f(5) и значения в вершине крайнего куска (если вершина действительно лежит вне отрезка).
Сравнивая его с 2, получаем ответ.
Ответ: (1; 10).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = 4ax + |x2 − x − 2|
больше −2.
f(x) = 4ax + |x2 − x − 2|
больше −2.
Показать ответ
(−1/4; 1/2)
Решение
Трёхчлен под модулем раскладывается: x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), поэтому точки излома — x = −1 и x = 2.
Вне отрезка [−1; 2] функция равна x2 + (4a − 1)x − 2 — парабола ветвями ВВЕРХ; внутри отрезка знак модуля меняется, и парабола идёт ветвями ВНИЗ, значит там минимум достигается на конце.
В самих точках излома модуль равен нулю: f(−1) и f(2) — линейные функции a.
Значит наименьшее значение — это меньшее из f(−1), f(2) и значения в вершине крайнего куска (если вершина действительно лежит вне отрезка).
Сравнивая его с −2, получаем ответ.
Ответ: (−1/4; 1/2).
Вне отрезка [−1; 2] функция равна x2 + (4a − 1)x − 2 — парабола ветвями ВВЕРХ; внутри отрезка знак модуля меняется, и парабола идёт ветвями ВНИЗ, значит там минимум достигается на конце.
В самих точках излома модуль равен нулю: f(−1) и f(2) — линейные функции a.
Значит наименьшее значение — это меньшее из f(−1), f(2) и значения в вершине крайнего куска (если вершина действительно лежит вне отрезка).
Сравнивая его с −2, получаем ответ.
Ответ: (−1/4; 1/2).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = 4ax + 1 + |x2 − 3x|
больше −24.
f(x) = 4ax + 1 + |x2 − 3x|
больше −24.
Показать ответ
(−7/4; 13/4)
Решение
Трёхчлен под модулем раскладывается: x2 − 3x = x(x − 3), поэтому точки излома — x = 0 и x = 3.
Вне отрезка [0; 3] функция равна x2 + (4a − 3)x + 1 — парабола ветвями ВВЕРХ; внутри отрезка знак модуля меняется, и парабола идёт ветвями ВНИЗ, значит там минимум достигается на конце.
В самих точках излома модуль равен нулю: f(0) и f(3) — линейные функции a.
Значит наименьшее значение — это меньшее из f(0), f(3) и значения в вершине крайнего куска (если вершина действительно лежит вне отрезка).
Сравнивая его с −24, получаем ответ.
Ответ: (−7/4; 13/4).
Вне отрезка [0; 3] функция равна x2 + (4a − 3)x + 1 — парабола ветвями ВВЕРХ; внутри отрезка знак модуля меняется, и парабола идёт ветвями ВНИЗ, значит там минимум достигается на конце.
В самих точках излома модуль равен нулю: f(0) и f(3) — линейные функции a.
Значит наименьшее значение — это меньшее из f(0), f(3) и значения в вершине крайнего куска (если вершина действительно лежит вне отрезка).
Сравнивая его с −24, получаем ответ.
Ответ: (−7/4; 13/4).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = 2ax − 2a + 1 + |x2 + 4x + 3|
меньше 0.
f(x) = 2ax − 2a + 1 + |x2 + 4x + 3|
меньше 0.
Показать ответ
(−∞; −6) ∪ (1/8; +∞)
Решение
Трёхчлен под модулем раскладывается: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1), поэтому точки излома — x = −3 и x = −1.
Вне отрезка [−3; −1] функция равна x2 + (2a + 4)x + 3 − 2a + 1 — парабола ветвями ВВЕРХ; внутри отрезка знак модуля меняется, и парабола идёт ветвями ВНИЗ, значит там минимум достигается на конце.
В самих точках излома модуль равен нулю: f(−3) и f(−1) — линейные функции a.
Значит наименьшее значение — это меньшее из f(−3), f(−1) и значения в вершине крайнего куска (если вершина действительно лежит вне отрезка).
Сравнивая его с 0, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −6) ∪ (1/8; +∞).
Вне отрезка [−3; −1] функция равна x2 + (2a + 4)x + 3 − 2a + 1 — парабола ветвями ВВЕРХ; внутри отрезка знак модуля меняется, и парабола идёт ветвями ВНИЗ, значит там минимум достигается на конце.
В самих точках излома модуль равен нулю: f(−3) и f(−1) — линейные функции a.
Значит наименьшее значение — это меньшее из f(−3), f(−1) и значения в вершине крайнего куска (если вершина действительно лежит вне отрезка).
Сравнивая его с 0, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −6) ∪ (1/8; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = ax − 2a − 1 + |x2 + 4x + 3|
больше −2.
f(x) = ax − 2a − 1 + |x2 + 4x + 3|
больше −2.
Показать ответ
(−16; 1/5)
Решение
Трёхчлен под модулем раскладывается: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1), поэтому точки излома — x = −3 и x = −1.
Вне отрезка [−3; −1] функция равна x2 + (a + 4)x + 3 − 2a − 1 — парабола ветвями ВВЕРХ; внутри отрезка знак модуля меняется, и парабола идёт ветвями ВНИЗ, значит там минимум достигается на конце.
В самих точках излома модуль равен нулю: f(−3) и f(−1) — линейные функции a.
Значит наименьшее значение — это меньшее из f(−3), f(−1) и значения в вершине крайнего куска (если вершина действительно лежит вне отрезка).
Сравнивая его с −2, получаем ответ.
Ответ: (−16; 1/5).
Вне отрезка [−3; −1] функция равна x2 + (a + 4)x + 3 − 2a − 1 — парабола ветвями ВВЕРХ; внутри отрезка знак модуля меняется, и парабола идёт ветвями ВНИЗ, значит там минимум достигается на конце.
В самих точках излома модуль равен нулю: f(−3) и f(−1) — линейные функции a.
Значит наименьшее значение — это меньшее из f(−3), f(−1) и значения в вершине крайнего куска (если вершина действительно лежит вне отрезка).
Сравнивая его с −2, получаем ответ.
Ответ: (−16; 1/5).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.