Наименьшее значение k|x+a| + |x²−px+q| — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Наибольшее и наименьшее значения функции. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = 2|x + a| + |x2 + x − 2|
больше 0.
f(x) = 2|x + a| + |x2 + x − 2|
больше 0.
Показать ответ
(−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (2; +∞)
Решение
Точки излома: x = −a (первый модуль) и корни второго трёхчлена x = −2, x = 1 (x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1)).
Между соседними изломами f — обычный квадратный трёхчлен, поэтому её наименьшее значение достигается либо в точке излома, либо в вершине куска, направленного ветвями вверх.
В изломах: f(−a) = |a2 − a − 2|, f(−2) = 2|a − 2|, f(1) = 2|a + 1|.
Вершина куска, где оба модуля раскрыты со знаком «+» или «−», стоит в точке x = −3/2 либо x = 1/2, и значение в ней линейно по a.
Сравнивая наименьшее из этих значений с 0, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (2; +∞).
Между соседними изломами f — обычный квадратный трёхчлен, поэтому её наименьшее значение достигается либо в точке излома, либо в вершине куска, направленного ветвями вверх.
В изломах: f(−a) = |a2 − a − 2|, f(−2) = 2|a − 2|, f(1) = 2|a + 1|.
Вершина куска, где оба модуля раскрыты со знаком «+» или «−», стоит в точке x = −3/2 либо x = 1/2, и значение в ней линейно по a.
Сравнивая наименьшее из этих значений с 0, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (2; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = |x + a| + |x2 − 6x + 8|
больше 3.
f(x) = |x + a| + |x2 − 6x + 8|
больше 3.
Показать ответ
(−∞; −7) ∪ (1; +∞)
Решение
Точки излома: x = −a (первый модуль) и корни второго трёхчлена x = 2, x = 4 (x2 − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4)).
Между соседними изломами f — обычный квадратный трёхчлен, поэтому её наименьшее значение достигается либо в точке излома, либо в вершине куска, направленного ветвями вверх.
В изломах: f(−a) = |a2 + 6a + 8|, f(2) = |a + 2|, f(4) = |a + 4|.
Вершина куска, где оба модуля раскрыты со знаком «+» или «−», стоит в точке x = 5/2 либо x = 7/2, и значение в ней линейно по a.
Сравнивая наименьшее из этих значений с 3, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −7) ∪ (1; +∞).
Между соседними изломами f — обычный квадратный трёхчлен, поэтому её наименьшее значение достигается либо в точке излома, либо в вершине куска, направленного ветвями вверх.
В изломах: f(−a) = |a2 + 6a + 8|, f(2) = |a + 2|, f(4) = |a + 4|.
Вершина куска, где оба модуля раскрыты со знаком «+» или «−», стоит в точке x = 5/2 либо x = 7/2, и значение в ней линейно по a.
Сравнивая наименьшее из этих значений с 3, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −7) ∪ (1; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = 2|x + a| + |x2 − x − 2|
больше 4.
f(x) = 2|x + a| + |x2 − x − 2|
больше 4.
Показать ответ
(−∞; −4) ∪ (3; +∞)
Решение
Точки излома: x = −a (первый модуль) и корни второго трёхчлена x = −1, x = 2 (x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)).
Между соседними изломами f — обычный квадратный трёхчлен, поэтому её наименьшее значение достигается либо в точке излома, либо в вершине куска, направленного ветвями вверх.
В изломах: f(−a) = |a2 + a − 2|, f(−1) = 2|a − 1|, f(2) = 2|a + 2|.
Вершина куска, где оба модуля раскрыты со знаком «+» или «−», стоит в точке x = −1/2 либо x = 3/2, и значение в ней линейно по a.
Сравнивая наименьшее из этих значений с 4, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −4) ∪ (3; +∞).
Между соседними изломами f — обычный квадратный трёхчлен, поэтому её наименьшее значение достигается либо в точке излома, либо в вершине куска, направленного ветвями вверх.
В изломах: f(−a) = |a2 + a − 2|, f(−1) = 2|a − 1|, f(2) = 2|a + 2|.
Вершина куска, где оба модуля раскрыты со знаком «+» или «−», стоит в точке x = −1/2 либо x = 3/2, и значение в ней линейно по a.
Сравнивая наименьшее из этих значений с 4, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −4) ∪ (3; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = |x + a| + |x2 − 3x|
больше 0.
f(x) = |x + a| + |x2 − 3x|
больше 0.
Показать ответ
(−∞; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; +∞)
Решение
Точки излома: x = −a (первый модуль) и корни второго трёхчлена x = 0, x = 3 (x2 − 3x = x(x − 3)).
Между соседними изломами f — обычный квадратный трёхчлен, поэтому её наименьшее значение достигается либо в точке излома, либо в вершине куска, направленного ветвями вверх.
В изломах: f(−a) = |a2 + 3a|, f(0) = |a|, f(3) = |a + 3|.
Вершина куска, где оба модуля раскрыты со знаком «+» или «−», стоит в точке x = 1 либо x = 2, и значение в ней линейно по a.
Сравнивая наименьшее из этих значений с 0, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; +∞).
Между соседними изломами f — обычный квадратный трёхчлен, поэтому её наименьшее значение достигается либо в точке излома, либо в вершине куска, направленного ветвями вверх.
В изломах: f(−a) = |a2 + 3a|, f(0) = |a|, f(3) = |a + 3|.
Вершина куска, где оба модуля раскрыты со знаком «+» или «−», стоит в точке x = 1 либо x = 2, и значение в ней линейно по a.
Сравнивая наименьшее из этих значений с 0, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = 4|x + a| + |x2 − 6x + 8|
меньше 3.
f(x) = 4|x + a| + |x2 − 6x + 8|
меньше 3.
Показать ответ
(−5; −1)
Решение
Точки излома: x = −a (первый модуль) и корни второго трёхчлена x = 2, x = 4 (x2 − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4)).
Между соседними изломами f — обычный квадратный трёхчлен, поэтому её наименьшее значение достигается либо в точке излома, либо в вершине куска, направленного ветвями вверх.
В изломах: f(−a) = |a2 + 6a + 8|, f(2) = 4|a + 2|, f(4) = 4|a + 4|.
Вершина куска, где оба модуля раскрыты со знаком «+» или «−», стоит в точке x = 1 либо x = 5, и значение в ней линейно по a.
Сравнивая наименьшее из этих значений с 3, получаем ответ.
Ответ: (−5; −1).
Между соседними изломами f — обычный квадратный трёхчлен, поэтому её наименьшее значение достигается либо в точке излома, либо в вершине куска, направленного ветвями вверх.
В изломах: f(−a) = |a2 + 6a + 8|, f(2) = 4|a + 2|, f(4) = 4|a + 4|.
Вершина куска, где оба модуля раскрыты со знаком «+» или «−», стоит в точке x = 1 либо x = 5, и значение в ней линейно по a.
Сравнивая наименьшее из этих значений с 3, получаем ответ.
Ответ: (−5; −1).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.