Наименьшее значение (kx−a)²+pa+q на |x| ≥ r — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Наибольшее и наименьшее значения функции. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = x2 − 2ax + a2 + 2a + 2
на множестве |x| ≥ 2 не меньше 6.
f(x) = x2 − 2ax + a2 + 2a + 2
на множестве |x| ≥ 2 не меньше 6.
Показать ответ
{0} ∪ [2; +∞)
Решение
Соберём полный квадрат: f(x) = (x − a)2 + 2a + 2. Это парабола ветвями вверх с вершиной x = a1 и наименьшим значением 2a + 2.
Если вершина принадлежит множеству |x| ≥ 2 (то есть |a| ≥ 2), наименьшее значение и равно 2a + 2.
Иначе минимум достигается на ближайшем конце x = ±2 и равен (2 − a)2 + 2a + 2 или (2 + a)2 + 2a + 2 — меньшем из двух.
Остаётся сравнить полученное значение с 6.
Ответ: {0} ∪ [2; +∞).
Если вершина принадлежит множеству |x| ≥ 2 (то есть |a| ≥ 2), наименьшее значение и равно 2a + 2.
Иначе минимум достигается на ближайшем конце x = ±2 и равен (2 − a)2 + 2a + 2 или (2 + a)2 + 2a + 2 — меньшем из двух.
Остаётся сравнить полученное значение с 6.
Ответ: {0} ∪ [2; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = 4x2 − 4ax + a2 + a + 2
на множестве |x| ≥ 2 не меньше 4.
f(x) = 4x2 − 4ax + a2 + a + 2
на множестве |x| ≥ 2 не меньше 4.
Показать ответ
[−2; +∞)
Решение
Соберём полный квадрат: f(x) = (2x − a)2 + a + 2. Это парабола ветвями вверх с вершиной x = a2 и наименьшим значением a + 2.
Если вершина принадлежит множеству |x| ≥ 2 (то есть |a| ≥ 4), наименьшее значение и равно a + 2.
Иначе минимум достигается на ближайшем конце x = ±2 и равен (4 − a)2 + a + 2 или (4 + a)2 + a + 2 — меньшем из двух.
Остаётся сравнить полученное значение с 4.
Ответ: [−2; +∞).
Если вершина принадлежит множеству |x| ≥ 2 (то есть |a| ≥ 4), наименьшее значение и равно a + 2.
Иначе минимум достигается на ближайшем конце x = ±2 и равен (4 − a)2 + a + 2 или (4 + a)2 + a + 2 — меньшем из двух.
Остаётся сравнить полученное значение с 4.
Ответ: [−2; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = x2 − 2ax + a2 + a + 3
на множестве |x| ≥ 1 не меньше 4.
f(x) = x2 − 2ax + a2 + a + 3
на множестве |x| ≥ 1 не меньше 4.
Показать ответ
{0} ∪ [1; +∞)
Решение
Соберём полный квадрат: f(x) = (x − a)2 + a + 3. Это парабола ветвями вверх с вершиной x = a1 и наименьшим значением a + 3.
Если вершина принадлежит множеству |x| ≥ 1 (то есть |a| ≥ 1), наименьшее значение и равно a + 3.
Иначе минимум достигается на ближайшем конце x = ±1 и равен (1 − a)2 + a + 3 или (1 + a)2 + a + 3 — меньшем из двух.
Остаётся сравнить полученное значение с 4.
Ответ: {0} ∪ [1; +∞).
Если вершина принадлежит множеству |x| ≥ 1 (то есть |a| ≥ 1), наименьшее значение и равно a + 3.
Иначе минимум достигается на ближайшем конце x = ±1 и равен (1 − a)2 + a + 3 или (1 + a)2 + a + 3 — меньшем из двух.
Остаётся сравнить полученное значение с 4.
Ответ: {0} ∪ [1; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = x2 − 2ax + a2 + 2a + 2
на множестве |x| ≥ 2 меньше 6.
f(x) = x2 − 2ax + a2 + 2a + 2
на множестве |x| ≥ 2 меньше 6.
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ (0; 2)
Решение
Соберём полный квадрат: f(x) = (x − a)2 + 2a + 2. Это парабола ветвями вверх с вершиной x = a1 и наименьшим значением 2a + 2.
Если вершина принадлежит множеству |x| ≥ 2 (то есть |a| ≥ 2), наименьшее значение и равно 2a + 2.
Иначе минимум достигается на ближайшем конце x = ±2 и равен (2 − a)2 + 2a + 2 или (2 + a)2 + 2a + 2 — меньшем из двух.
Остаётся сравнить полученное значение с 6.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 2).
Если вершина принадлежит множеству |x| ≥ 2 (то есть |a| ≥ 2), наименьшее значение и равно 2a + 2.
Иначе минимум достигается на ближайшем конце x = ±2 и равен (2 − a)2 + 2a + 2 или (2 + a)2 + 2a + 2 — меньшем из двух.
Остаётся сравнить полученное значение с 6.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 2).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = x2 − 2ax + a2 + a + 1
на множестве |x| ≥ 1 меньше 2.
f(x) = x2 − 2ax + a2 + a + 1
на множестве |x| ≥ 1 меньше 2.
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ (0; 1)
Решение
Соберём полный квадрат: f(x) = (x − a)2 + a + 1. Это парабола ветвями вверх с вершиной x = a1 и наименьшим значением a + 1.
Если вершина принадлежит множеству |x| ≥ 1 (то есть |a| ≥ 1), наименьшее значение и равно a + 1.
Иначе минимум достигается на ближайшем конце x = ±1 и равен (1 − a)2 + a + 1 или (1 + a)2 + a + 1 — меньшем из двух.
Остаётся сравнить полученное значение с 2.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 1).
Если вершина принадлежит множеству |x| ≥ 1 (то есть |a| ≥ 1), наименьшее значение и равно a + 1.
Иначе минимум достигается на ближайшем конце x = ±1 и равен (1 − a)2 + a + 1 или (1 + a)2 + a + 1 — меньшем из двух.
Остаётся сравнить полученное значение с 2.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 1).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.