Наименьшее значение x − k|x| + |(x−a)(x−a−2w)| — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Наибольшее и наименьшее значения функции. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = x − 2|x| + |x2 − 2(a + 3)x + a2 + 6a|
меньше −10.
f(x) = x − 2|x| + |x2 − 2(a + 3)x + a2 + 6a|
меньше −10.
Показать ответ
(−∞; −10/3) ∪ (4; +∞)
Решение
Трёхчлен под вторым модулем раскладывается: x2 − 2(a + 3)x + a2 + 6a = (x − a)(x − a − 6), поэтому изломы стоят в точках x = 0, x = a и x = a + 6.
На каждом куске f — квадратный трёхчлен, значит минимум достигается либо в изломе, либо в вершине куска с ветвями вверх.
В изломах: f(0) = |a2 + 6a|, f(a) = a − 2|a|, f(a + 6) = a + 6 − 2|a + 6|.
Сравнивая наименьшее из значений с −10, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −10/3) ∪ (4; +∞).
На каждом куске f — квадратный трёхчлен, значит минимум достигается либо в изломе, либо в вершине куска с ветвями вверх.
В изломах: f(0) = |a2 + 6a|, f(a) = a − 2|a|, f(a + 6) = a + 6 − 2|a + 6|.
Сравнивая наименьшее из значений с −10, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −10/3) ∪ (4; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = x − 2|x| + |x2 − 2(a + 2)x + a2 + 4a|
меньше −5.
f(x) = x − 2|x| + |x2 − 2(a + 2)x + a2 + 4a|
меньше −5.
Показать ответ
(−∞; −5/3) ∪ (1; +∞)
Решение
Трёхчлен под вторым модулем раскладывается: x2 − 2(a + 2)x + a2 + 4a = (x − a)(x − a − 4), поэтому изломы стоят в точках x = 0, x = a и x = a + 4.
На каждом куске f — квадратный трёхчлен, значит минимум достигается либо в изломе, либо в вершине куска с ветвями вверх.
В изломах: f(0) = |a2 + 4a|, f(a) = a − 2|a|, f(a + 4) = a + 4 − 2|a + 4|.
Сравнивая наименьшее из значений с −5, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −5/3) ∪ (1; +∞).
На каждом куске f — квадратный трёхчлен, значит минимум достигается либо в изломе, либо в вершине куска с ветвями вверх.
В изломах: f(0) = |a2 + 4a|, f(a) = a − 2|a|, f(a + 4) = a + 4 − 2|a + 4|.
Сравнивая наименьшее из значений с −5, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −5/3) ∪ (1; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = x − 2|x| + |x2 − 2(a + 3)x + a2 + 6a|
больше −5.
f(x) = x − 2|x| + |x2 − 2(a + 3)x + a2 + 6a|
больше −5.
Показать ответ
(−5/3; −1)
Решение
Трёхчлен под вторым модулем раскладывается: x2 − 2(a + 3)x + a2 + 6a = (x − a)(x − a − 6), поэтому изломы стоят в точках x = 0, x = a и x = a + 6.
На каждом куске f — квадратный трёхчлен, значит минимум достигается либо в изломе, либо в вершине куска с ветвями вверх.
В изломах: f(0) = |a2 + 6a|, f(a) = a − 2|a|, f(a + 6) = a + 6 − 2|a + 6|.
Сравнивая наименьшее из значений с −5, получаем ответ.
Ответ: (−5/3; −1).
На каждом куске f — квадратный трёхчлен, значит минимум достигается либо в изломе, либо в вершине куска с ветвями вверх.
В изломах: f(0) = |a2 + 6a|, f(a) = a − 2|a|, f(a + 6) = a + 6 − 2|a + 6|.
Сравнивая наименьшее из значений с −5, получаем ответ.
Ответ: (−5/3; −1).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = x − 3|x| + |x2 − 2(a + 2)x + a2 + 4a|
больше −10.
f(x) = x − 3|x| + |x2 − 2(a + 2)x + a2 + 4a|
больше −10.
Показать ответ
(−5/2; 1)
Решение
Трёхчлен под вторым модулем раскладывается: x2 − 2(a + 2)x + a2 + 4a = (x − a)(x − a − 4), поэтому изломы стоят в точках x = 0, x = a и x = a + 4.
На каждом куске f — квадратный трёхчлен, значит минимум достигается либо в изломе, либо в вершине куска с ветвями вверх.
В изломах: f(0) = |a2 + 4a|, f(a) = a − 3|a|, f(a + 4) = a + 4 − 3|a + 4|.
Сравнивая наименьшее из значений с −10, получаем ответ.
Ответ: (−5/2; 1).
На каждом куске f — квадратный трёхчлен, значит минимум достигается либо в изломе, либо в вершине куска с ветвями вверх.
В изломах: f(0) = |a2 + 4a|, f(a) = a − 3|a|, f(a + 4) = a + 4 − 3|a + 4|.
Сравнивая наименьшее из значений с −10, получаем ответ.
Ответ: (−5/2; 1).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
f(x) = x − 2|x| + |x2 − 2(a + 3)x + a2 + 6a|
меньше −6.
f(x) = x − 2|x| + |x2 − 2(a + 3)x + a2 + 6a|
меньше −6.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (0; +∞)
Решение
Трёхчлен под вторым модулем раскладывается: x2 − 2(a + 3)x + a2 + 6a = (x − a)(x − a − 6), поэтому изломы стоят в точках x = 0, x = a и x = a + 6.
На каждом куске f — квадратный трёхчлен, значит минимум достигается либо в изломе, либо в вершине куска с ветвями вверх.
В изломах: f(0) = |a2 + 6a|, f(a) = a − 2|a|, f(a + 6) = a + 6 − 2|a + 6|.
Сравнивая наименьшее из значений с −6, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (0; +∞).
На каждом куске f — квадратный трёхчлен, значит минимум достигается либо в изломе, либо в вершине куска с ветвями вверх.
В изломах: f(0) = |a2 + 6a|, f(a) = a − 2|a|, f(a + 6) = a + 6 − 2|a + 6|.
Сравнивая наименьшее из значений с −6, получаем ответ.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (0; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.