Найти все x: равенство верно при любом a из отрезка — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения x, при каждом из которых равенство
(2 + a)sin x − (a + 1)cos x2sin x − cos x = 1
верно при любом значении параметра a из отрезка [−1; 4].
(2 + a)sin x − (a + 1)cos x2sin x − cos x = 1
верно при любом значении параметра a из отрезка [−1; 4].
Показать ответ
π/6 + πn, n ∈ ℤ
Решение
Знаменатель в интересующих точках отличен от нуля, поэтому равенство равносильно совпадению числителя со знаменателем, то есть равенству нулю их разности.
Разность равна a·sin x − a·cos x, то есть 2a·sinx − π6.
Равенство должно выполняться при ЛЮБОМ a из отрезка [−1; 4], а на нём есть значения, отличные от нуля. Значит обязано быть sinx − π6 = 0.
Отсюда x − π6 = πn, то есть x = π6 + πn; в этих точках знаменатель равен ±2sin π6 − cos π6 ≠ 0, так что все они подходят.
Ответ: π/6 + πn, n ∈ ℤ.
Разность равна a·sin x − a·cos x, то есть 2a·sinx − π6.
Равенство должно выполняться при ЛЮБОМ a из отрезка [−1; 4], а на нём есть значения, отличные от нуля. Значит обязано быть sinx − π6 = 0.
Отсюда x − π6 = πn, то есть x = π6 + πn; в этих точках знаменатель равен ±2sin π6 − cos π6 ≠ 0, так что все они подходят.
Ответ: π/6 + πn, n ∈ ℤ.
Пример 2
Найдите все значения x, при каждом из которых равенство
(6 + a)sin x − (a − 2)cos x6sin x + 2cos x = 1
верно при любом значении параметра a из отрезка [0; 5].
(6 + a)sin x − (a − 2)cos x6sin x + 2cos x = 1
верно при любом значении параметра a из отрезка [0; 5].
Показать ответ
π/4 + πn, n ∈ ℤ
Решение
Знаменатель в интересующих точках отличен от нуля, поэтому равенство равносильно совпадению числителя со знаменателем, то есть равенству нулю их разности.
Разность равна a·sin x − a·cos x, то есть 2a·sinx − π4.
Равенство должно выполняться при ЛЮБОМ a из отрезка [0; 5], а на нём есть значения, отличные от нуля. Значит обязано быть sinx − π4 = 0.
Отсюда x − π4 = πn, то есть x = π4 + πn; в этих точках знаменатель равен ±6sin π4 + 2cos π4 ≠ 0, так что все они подходят.
Ответ: π/4 + πn, n ∈ ℤ.
Разность равна a·sin x − a·cos x, то есть 2a·sinx − π4.
Равенство должно выполняться при ЛЮБОМ a из отрезка [0; 5], а на нём есть значения, отличные от нуля. Значит обязано быть sinx − π4 = 0.
Отсюда x − π4 = πn, то есть x = π4 + πn; в этих точках знаменатель равен ±6sin π4 + 2cos π4 ≠ 0, так что все они подходят.
Ответ: π/4 + πn, n ∈ ℤ.
Пример 3
Найдите все значения x, при каждом из которых равенство
sin x − (2a + 2)cos xsin x − 2cos x = 1
верно при любом значении параметра a из отрезка [0; 5].
sin x − (2a + 2)cos xsin x − 2cos x = 1
верно при любом значении параметра a из отрезка [0; 5].
Показать ответ
π/2 + πn, n ∈ ℤ
Решение
Знаменатель в интересующих точках отличен от нуля, поэтому равенство равносильно совпадению числителя со знаменателем, то есть равенству нулю их разности.
Разность равна − 2a·cos x, то есть 2a·sinx − π2.
Равенство должно выполняться при ЛЮБОМ a из отрезка [0; 5], а на нём есть значения, отличные от нуля. Значит обязано быть sinx − π2 = 0.
Отсюда x − π2 = πn, то есть x = π2 + πn; в этих точках знаменатель равен ±sin π2 − 2cos π2 ≠ 0, так что все они подходят.
Ответ: π/2 + πn, n ∈ ℤ.
Разность равна − 2a·cos x, то есть 2a·sinx − π2.
Равенство должно выполняться при ЛЮБОМ a из отрезка [0; 5], а на нём есть значения, отличные от нуля. Значит обязано быть sinx − π2 = 0.
Отсюда x − π2 = πn, то есть x = π2 + πn; в этих точках знаменатель равен ±sin π2 − 2cos π2 ≠ 0, так что все они подходят.
Ответ: π/2 + πn, n ∈ ℤ.
Пример 4
Найдите все значения x, при каждом из которых равенство
(1 + a)sin x − (a + 1)cos xsin x − cos x = 1
верно при любом значении параметра a из отрезка [−1; 4].
(1 + a)sin x − (a + 1)cos xsin x − cos x = 1
верно при любом значении параметра a из отрезка [−1; 4].
Показать ответ
π/3 + πn, n ∈ ℤ
Решение
Знаменатель в интересующих точках отличен от нуля, поэтому равенство равносильно совпадению числителя со знаменателем, то есть равенству нулю их разности.
Разность равна a·sin x − a·cos x, то есть 2a·sinx − π3.
Равенство должно выполняться при ЛЮБОМ a из отрезка [−1; 4], а на нём есть значения, отличные от нуля. Значит обязано быть sinx − π3 = 0.
Отсюда x − π3 = πn, то есть x = π3 + πn; в этих точках знаменатель равен ±sin π3 − cos π3 ≠ 0, так что все они подходят.
Ответ: π/3 + πn, n ∈ ℤ.
Разность равна a·sin x − a·cos x, то есть 2a·sinx − π3.
Равенство должно выполняться при ЛЮБОМ a из отрезка [−1; 4], а на нём есть значения, отличные от нуля. Значит обязано быть sinx − π3 = 0.
Отсюда x − π3 = πn, то есть x = π3 + πn; в этих точках знаменатель равен ±sin π3 − cos π3 ≠ 0, так что все они подходят.
Ответ: π/3 + πn, n ∈ ℤ.
Пример 5
Найдите все значения x, при каждом из которых равенство
(6 + a)sin x − (a + 2)cos x6sin x − 2cos x = 1
верно при любом значении параметра a из отрезка [−1; 4].
(6 + a)sin x − (a + 2)cos x6sin x − 2cos x = 1
верно при любом значении параметра a из отрезка [−1; 4].
Показать ответ
π/3 + πn, n ∈ ℤ
Решение
Знаменатель в интересующих точках отличен от нуля, поэтому равенство равносильно совпадению числителя со знаменателем, то есть равенству нулю их разности.
Разность равна a·sin x − a·cos x, то есть 2a·sinx − π3.
Равенство должно выполняться при ЛЮБОМ a из отрезка [−1; 4], а на нём есть значения, отличные от нуля. Значит обязано быть sinx − π3 = 0.
Отсюда x − π3 = πn, то есть x = π3 + πn; в этих точках знаменатель равен ±6sin π3 − 2cos π3 ≠ 0, так что все они подходят.
Ответ: π/3 + πn, n ∈ ℤ.
Разность равна a·sin x − a·cos x, то есть 2a·sinx − π3.
Равенство должно выполняться при ЛЮБОМ a из отрезка [−1; 4], а на нём есть значения, отличные от нуля. Значит обязано быть sinx − π3 = 0.
Отсюда x − π3 = πn, то есть x = π3 + πn; в этих точках знаменатель равен ±6sin π3 − 2cos π3 ≠ 0, так что все они подходят.
Ответ: π/3 + πn, n ∈ ℤ.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.