Не имеет корней: k³x⁶+(pa−qx)³+ckx²+cpa = cqx — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Монотонная замена φ(t) = tⁿ + ct. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x6 + (3a − 3x)3 + 3x2 + 9a = 9x
не имеет корней.
x6 + (3a − 3x)3 + 3x2 + 9a = 9x
не имеет корней.
Показать ответ
(3/4; +∞)
Решение
Соберём слагаемые в две одинаковые конструкции: x6 + 3x2 = x23 + 3·x2, а (3a − 3x)3 + 9a − 9x = (3a − 3x)3 + 3(3a − 3x).
Значит уравнение имеет вид φ(x2) + φ(3a − 3x) = 0, где φ(t) = t3 + 3t.
Функция φ возрастает (её производная 3t2 + 3 положительна) и нечётна, поэтому равенство φ(A) = −φ(B) = φ(−B) равносильно A = −B.
Получаем x2 = 3x − 3a, то есть x2 − 3x + 3a = 0. Корней нет ⟺ дискриминант 9 − 12a < 0.
Ответ: (3/4; +∞).
Значит уравнение имеет вид φ(x2) + φ(3a − 3x) = 0, где φ(t) = t3 + 3t.
Функция φ возрастает (её производная 3t2 + 3 положительна) и нечётна, поэтому равенство φ(A) = −φ(B) = φ(−B) равносильно A = −B.
Получаем x2 = 3x − 3a, то есть x2 − 3x + 3a = 0. Корней нет ⟺ дискриминант 9 − 12a < 0.
Ответ: (3/4; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
8x6 + (5a − 4x)3 + 6x2 + 15a = 12x
не имеет корней.
8x6 + (5a − 4x)3 + 6x2 + 15a = 12x
не имеет корней.
Показать ответ
(2/5; +∞)
Решение
Соберём слагаемые в две одинаковые конструкции: 8x6 + 6x2 = 2x23 + 3·2x2, а (5a − 4x)3 + 15a − 12x = (5a − 4x)3 + 3(5a − 4x).
Значит уравнение имеет вид φ(2x2) + φ(5a − 4x) = 0, где φ(t) = t3 + 3t.
Функция φ возрастает (её производная 3t2 + 3 положительна) и нечётна, поэтому равенство φ(A) = −φ(B) = φ(−B) равносильно A = −B.
Получаем 2x2 = 4x − 5a, то есть 2x2 − 4x + 5a = 0. Корней нет ⟺ дискриминант 16 − 40a < 0.
Ответ: (2/5; +∞).
Значит уравнение имеет вид φ(2x2) + φ(5a − 4x) = 0, где φ(t) = t3 + 3t.
Функция φ возрастает (её производная 3t2 + 3 положительна) и нечётна, поэтому равенство φ(A) = −φ(B) = φ(−B) равносильно A = −B.
Получаем 2x2 = 4x − 5a, то есть 2x2 − 4x + 5a = 0. Корней нет ⟺ дискриминант 16 − 40a < 0.
Ответ: (2/5; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
8x6 + (5a − 2x)3 + 4x2 + 10a = 4x
не имеет корней.
8x6 + (5a − 2x)3 + 4x2 + 10a = 4x
не имеет корней.
Показать ответ
(1/10; +∞)
Решение
Соберём слагаемые в две одинаковые конструкции: 8x6 + 4x2 = 2x23 + 2·2x2, а (5a − 2x)3 + 10a − 4x = (5a − 2x)3 + 2(5a − 2x).
Значит уравнение имеет вид φ(2x2) + φ(5a − 2x) = 0, где φ(t) = t3 + 2t.
Функция φ возрастает (её производная 3t2 + 2 положительна) и нечётна, поэтому равенство φ(A) = −φ(B) = φ(−B) равносильно A = −B.
Получаем 2x2 = 2x − 5a, то есть 2x2 − 2x + 5a = 0. Корней нет ⟺ дискриминант 4 − 40a < 0.
Ответ: (1/10; +∞).
Значит уравнение имеет вид φ(2x2) + φ(5a − 2x) = 0, где φ(t) = t3 + 2t.
Функция φ возрастает (её производная 3t2 + 2 положительна) и нечётна, поэтому равенство φ(A) = −φ(B) = φ(−B) равносильно A = −B.
Получаем 2x2 = 2x − 5a, то есть 2x2 − 2x + 5a = 0. Корней нет ⟺ дискриминант 4 − 40a < 0.
Ответ: (1/10; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
8x6 + (3a − 4x)3 + 2x2 + 3a = 4x
не имеет корней.
8x6 + (3a − 4x)3 + 2x2 + 3a = 4x
не имеет корней.
Показать ответ
(2/3; +∞)
Решение
Соберём слагаемые в две одинаковые конструкции: 8x6 + 2x2 = 2x23 + ·2x2, а (3a − 4x)3 + 3a − 4x = (3a − 4x)3 + (3a − 4x).
Значит уравнение имеет вид φ(2x2) + φ(3a − 4x) = 0, где φ(t) = t3 + t.
Функция φ возрастает (её производная 3t2 + 1 положительна) и нечётна, поэтому равенство φ(A) = −φ(B) = φ(−B) равносильно A = −B.
Получаем 2x2 = 4x − 3a, то есть 2x2 − 4x + 3a = 0. Корней нет ⟺ дискриминант 16 − 24a < 0.
Ответ: (2/3; +∞).
Значит уравнение имеет вид φ(2x2) + φ(3a − 4x) = 0, где φ(t) = t3 + t.
Функция φ возрастает (её производная 3t2 + 1 положительна) и нечётна, поэтому равенство φ(A) = −φ(B) = φ(−B) равносильно A = −B.
Получаем 2x2 = 4x − 3a, то есть 2x2 − 4x + 3a = 0. Корней нет ⟺ дискриминант 16 − 24a < 0.
Ответ: (2/3; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x6 + (4a − 4x)3 + x2 + 4a = 4x
не имеет корней.
x6 + (4a − 4x)3 + x2 + 4a = 4x
не имеет корней.
Показать ответ
(1; +∞)
Решение
Соберём слагаемые в две одинаковые конструкции: x6 + x2 = x23 + ·x2, а (4a − 4x)3 + 4a − 4x = (4a − 4x)3 + (4a − 4x).
Значит уравнение имеет вид φ(x2) + φ(4a − 4x) = 0, где φ(t) = t3 + t.
Функция φ возрастает (её производная 3t2 + 1 положительна) и нечётна, поэтому равенство φ(A) = −φ(B) = φ(−B) равносильно A = −B.
Получаем x2 = 4x − 4a, то есть x2 − 4x + 4a = 0. Корней нет ⟺ дискриминант 16 − 16a < 0.
Ответ: (1; +∞).
Значит уравнение имеет вид φ(x2) + φ(4a − 4x) = 0, где φ(t) = t3 + t.
Функция φ возрастает (её производная 3t2 + 1 положительна) и нечётна, поэтому равенство φ(A) = −φ(B) = φ(−B) равносильно A = −B.
Получаем x2 = 4x − 4a, то есть x2 − 4x + 4a = 0. Корней нет ⟺ дискриминант 16 − 16a < 0.
Ответ: (1; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.