Не менее трёх корней: x⁴−rx³−tx²+rax+ta−a² = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Рациональные, четвёртой степени, кусочные. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x4 − 4x3 − 6x2 + 4ax + 6a − a2 = 0
имеет не менее трёх корней.
x4 − 4x3 − 6x2 + 4ax + 6a − a2 = 0
имеет не менее трёх корней.
Показать ответ
[0; 10]
Решение
Посмотрим на уравнение как на квадратное относительно a: a2 − (4x + 6)a + (x4 − 4x3 − 6x2) = 0.
Его дискриминант равен x2 + 4x + 62... точнее, корни равны a = x2 и a = −x2 + 4x + 6.
Значит уравнение равносильно совокупности a = x2 (парабола ветвями вверх, наименьшее значение 0) и a = −x2 + 4x + 6 (ветви вниз, наибольшее значение 10).
Первая даёт два корня при a > 0, вторая — два корня при a < 10; не менее трёх корней получается ровно на отрезке между этими значениями.
Ответ: [0; 10].
Его дискриминант равен x2 + 4x + 62... точнее, корни равны a = x2 и a = −x2 + 4x + 6.
Значит уравнение равносильно совокупности a = x2 (парабола ветвями вверх, наименьшее значение 0) и a = −x2 + 4x + 6 (ветви вниз, наибольшее значение 10).
Первая даёт два корня при a > 0, вторая — два корня при a < 10; не менее трёх корней получается ровно на отрезке между этими значениями.
Ответ: [0; 10].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x4 − 2x3 − 4x2 + 2ax + 4a − a2 = 0
имеет не менее трёх корней.
x4 − 2x3 − 4x2 + 2ax + 4a − a2 = 0
имеет не менее трёх корней.
Показать ответ
[0; 5]
Решение
Посмотрим на уравнение как на квадратное относительно a: a2 − (2x + 4)a + (x4 − 2x3 − 4x2) = 0.
Его дискриминант равен x2 + 2x + 42... точнее, корни равны a = x2 и a = −x2 + 2x + 4.
Значит уравнение равносильно совокупности a = x2 (парабола ветвями вверх, наименьшее значение 0) и a = −x2 + 2x + 4 (ветви вниз, наибольшее значение 5).
Первая даёт два корня при a > 0, вторая — два корня при a < 5; не менее трёх корней получается ровно на отрезке между этими значениями.
Ответ: [0; 5].
Его дискриминант равен x2 + 2x + 42... точнее, корни равны a = x2 и a = −x2 + 2x + 4.
Значит уравнение равносильно совокупности a = x2 (парабола ветвями вверх, наименьшее значение 0) и a = −x2 + 2x + 4 (ветви вниз, наибольшее значение 5).
Первая даёт два корня при a > 0, вторая — два корня при a < 5; не менее трёх корней получается ровно на отрезке между этими значениями.
Ответ: [0; 5].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x4 − 6x3 − 7x2 + 6ax + 7a − a2 = 0
имеет не менее трёх корней.
x4 − 6x3 − 7x2 + 6ax + 7a − a2 = 0
имеет не менее трёх корней.
Показать ответ
[0; 16]
Решение
Посмотрим на уравнение как на квадратное относительно a: a2 − (6x + 7)a + (x4 − 6x3 − 7x2) = 0.
Его дискриминант равен x2 + 6x + 72... точнее, корни равны a = x2 и a = −x2 + 6x + 7.
Значит уравнение равносильно совокупности a = x2 (парабола ветвями вверх, наименьшее значение 0) и a = −x2 + 6x + 7 (ветви вниз, наибольшее значение 16).
Первая даёт два корня при a > 0, вторая — два корня при a < 16; не менее трёх корней получается ровно на отрезке между этими значениями.
Ответ: [0; 16].
Его дискриминант равен x2 + 6x + 72... точнее, корни равны a = x2 и a = −x2 + 6x + 7.
Значит уравнение равносильно совокупности a = x2 (парабола ветвями вверх, наименьшее значение 0) и a = −x2 + 6x + 7 (ветви вниз, наибольшее значение 16).
Первая даёт два корня при a > 0, вторая — два корня при a < 16; не менее трёх корней получается ровно на отрезке между этими значениями.
Ответ: [0; 16].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x4 − 4x3 − 2x2 + 4ax + 2a − a2 = 0
имеет не менее трёх корней.
x4 − 4x3 − 2x2 + 4ax + 2a − a2 = 0
имеет не менее трёх корней.
Показать ответ
[0; 6]
Решение
Посмотрим на уравнение как на квадратное относительно a: a2 − (4x + 2)a + (x4 − 4x3 − 2x2) = 0.
Его дискриминант равен x2 + 4x + 22... точнее, корни равны a = x2 и a = −x2 + 4x + 2.
Значит уравнение равносильно совокупности a = x2 (парабола ветвями вверх, наименьшее значение 0) и a = −x2 + 4x + 2 (ветви вниз, наибольшее значение 6).
Первая даёт два корня при a > 0, вторая — два корня при a < 6; не менее трёх корней получается ровно на отрезке между этими значениями.
Ответ: [0; 6].
Его дискриминант равен x2 + 4x + 22... точнее, корни равны a = x2 и a = −x2 + 4x + 2.
Значит уравнение равносильно совокупности a = x2 (парабола ветвями вверх, наименьшее значение 0) и a = −x2 + 4x + 2 (ветви вниз, наибольшее значение 6).
Первая даёт два корня при a > 0, вторая — два корня при a < 6; не менее трёх корней получается ровно на отрезке между этими значениями.
Ответ: [0; 6].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x4 − 6x3 − 3x2 + 6ax + 3a − a2 = 0
имеет не менее трёх корней.
x4 − 6x3 − 3x2 + 6ax + 3a − a2 = 0
имеет не менее трёх корней.
Показать ответ
[0; 12]
Решение
Посмотрим на уравнение как на квадратное относительно a: a2 − (6x + 3)a + (x4 − 6x3 − 3x2) = 0.
Его дискриминант равен x2 + 6x + 32... точнее, корни равны a = x2 и a = −x2 + 6x + 3.
Значит уравнение равносильно совокупности a = x2 (парабола ветвями вверх, наименьшее значение 0) и a = −x2 + 6x + 3 (ветви вниз, наибольшее значение 12).
Первая даёт два корня при a > 0, вторая — два корня при a < 12; не менее трёх корней получается ровно на отрезке между этими значениями.
Ответ: [0; 12].
Его дискриминант равен x2 + 6x + 32... точнее, корни равны a = x2 и a = −x2 + 6x + 3.
Значит уравнение равносильно совокупности a = x2 (парабола ветвями вверх, наименьшее значение 0) и a = −x2 + 6x + 3 (ветви вниз, наибольшее значение 12).
Первая даёт два корня при a > 0, вторая — два корня при a < 12; не менее трёх корней получается ровно на отрезке между этими значениями.
Ответ: [0; 12].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.