Нет решений: две окружности с бегущими центрами — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 − 2(3x + y)a = 25 − 10a − 9a2x2 + y2 + 2(x + 2y)a = 1 − 2a − 4a2
не имеет решений.
x2 + y2 − 2(3x + y)a = 25 − 10a − 9a2x2 + y2 + 2(x + 2y)a = 1 − 2a − 4a2
не имеет решений.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (−4/5; 4/5) ∪ (6/7; +∞)
Решение
Соберём полные квадраты. Первая строка: (x − 3a)2 + (y − a)2 = (a − 5)2 — окружность с центром (3a; a) и радиусом |a − 5|.
Вторая: (x + a)2 + (y + 2a)2 = (a − 1)2 — центр (−a; −2a), радиус |a − 1|.
Расстояние между центрами d = 5|a|. Общих точек нет ⟺ d > r1 + r2 или d < |r1 − r2|; после возведения в квадрат оба случая складываются в одно неравенство
(25a2 − (2a − 6)2)(25a2 − 16) > 0.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (−4/5; 4/5) ∪ (6/7; +∞).
Вторая: (x + a)2 + (y + 2a)2 = (a − 1)2 — центр (−a; −2a), радиус |a − 1|.
Расстояние между центрами d = 5|a|. Общих точек нет ⟺ d > r1 + r2 или d < |r1 − r2|; после возведения в квадрат оба случая складываются в одно неравенство
(25a2 − (2a − 6)2)(25a2 − 16) > 0.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (−4/5; 4/5) ∪ (6/7; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 − 2(2x − y)a = 16 − 8a − 4a2x2 + y2 + 2(x − 3y)a = 4 − 4a − 9a2
не имеет решений.
x2 + y2 − 2(2x − y)a = 16 − 8a − 4a2x2 + y2 + 2(x − 3y)a = 4 − 4a − 9a2
не имеет решений.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (−2/5; 2/5) ∪ (6/7; +∞)
Решение
Соберём полные квадраты. Первая строка: (x − 2a)2 + (y + a)2 = (a − 4)2 — окружность с центром (2a; −a) и радиусом |a − 4|.
Вторая: (x + a)2 + (y − 3a)2 = (a − 2)2 — центр (−a; 3a), радиус |a − 2|.
Расстояние между центрами d = 5|a|. Общих точек нет ⟺ d > r1 + r2 или d < |r1 − r2|; после возведения в квадрат оба случая складываются в одно неравенство
(25a2 − (2a − 6)2)(25a2 − 4) > 0.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2/5; 2/5) ∪ (6/7; +∞).
Вторая: (x + a)2 + (y − 3a)2 = (a − 2)2 — центр (−a; 3a), радиус |a − 2|.
Расстояние между центрами d = 5|a|. Общих точек нет ⟺ d > r1 + r2 или d < |r1 − r2|; после возведения в квадрат оба случая складываются в одно неравенство
(25a2 − (2a − 6)2)(25a2 − 4) > 0.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2/5; 2/5) ∪ (6/7; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 − 2(x + y)a = 36 − 12a − a2x2 + y2 + 2(2x − y)a = 4 − 4a − 4a2
не имеет решений.
x2 + y2 − 2(x + y)a = 36 − 12a − a2x2 + y2 + 2(2x − y)a = 4 − 4a − 4a2
не имеет решений.
Показать ответ
(−∞; −8) ∪ (−4/3; 4/3) ∪ (8/5; +∞)
Решение
Соберём полные квадраты. Первая строка: (x − a)2 + (y − a)2 = (a − 6)2 — окружность с центром (a; a) и радиусом |a − 6|.
Вторая: (x + 2a)2 + (y − a)2 = (a − 2)2 — центр (−2a; a), радиус |a − 2|.
Расстояние между центрами d = 3|a|. Общих точек нет ⟺ d > r1 + r2 или d < |r1 − r2|; после возведения в квадрат оба случая складываются в одно неравенство
(9a2 − (2a − 8)2)(9a2 − 16) > 0.
Ответ: (−∞; −8) ∪ (−4/3; 4/3) ∪ (8/5; +∞).
Вторая: (x + 2a)2 + (y − a)2 = (a − 2)2 — центр (−2a; a), радиус |a − 2|.
Расстояние между центрами d = 3|a|. Общих точек нет ⟺ d > r1 + r2 или d < |r1 − r2|; после возведения в квадрат оба случая складываются в одно неравенство
(9a2 − (2a − 8)2)(9a2 − 16) > 0.
Ответ: (−∞; −8) ∪ (−4/3; 4/3) ∪ (8/5; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 − 2(2x + y)a = 4 − 4a − 4a2x2 + y2 + 4(x + y)a = 25 − 10a − 7a2
не имеет решений.
x2 + y2 − 2(2x + y)a = 4 − 4a − 4a2x2 + y2 + 4(x + y)a = 25 − 10a − 7a2
не имеет решений.
Показать ответ
(−∞; −7/3) ∪ (−3/5; 3/5) ∪ (1; +∞)
Решение
Соберём полные квадраты. Первая строка: (x − 2a)2 + (y − a)2 = (a − 2)2 — окружность с центром (2a; a) и радиусом |a − 2|.
Вторая: (x + 2a)2 + (y + 2a)2 = (a − 5)2 — центр (−2a; −2a), радиус |a − 5|.
Расстояние между центрами d = 5|a|. Общих точек нет ⟺ d > r1 + r2 или d < |r1 − r2|; после возведения в квадрат оба случая складываются в одно неравенство
(25a2 − (2a − 7)2)(25a2 − 9) > 0.
Ответ: (−∞; −7/3) ∪ (−3/5; 3/5) ∪ (1; +∞).
Вторая: (x + 2a)2 + (y + 2a)2 = (a − 5)2 — центр (−2a; −2a), радиус |a − 5|.
Расстояние между центрами d = 5|a|. Общих точек нет ⟺ d > r1 + r2 или d < |r1 − r2|; после возведения в квадрат оба случая складываются в одно неравенство
(25a2 − (2a − 7)2)(25a2 − 9) > 0.
Ответ: (−∞; −7/3) ∪ (−3/5; 3/5) ∪ (1; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 − 2(x − y)a = 16 − 8a − a2x2 + y2 − 2(4x + 3y)a = 4 − 4a − 24a2
не имеет решений.
x2 + y2 − 2(x − y)a = 16 − 8a − a2x2 + y2 − 2(4x + 3y)a = 4 − 4a − 24a2
не имеет решений.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (−2/5; 2/5) ∪ (6/7; +∞)
Решение
Соберём полные квадраты. Первая строка: (x − a)2 + (y + a)2 = (a − 4)2 — окружность с центром (a; −a) и радиусом |a − 4|.
Вторая: (x − 4a)2 + (y − 3a)2 = (a − 2)2 — центр (4a; 3a), радиус |a − 2|.
Расстояние между центрами d = 5|a|. Общих точек нет ⟺ d > r1 + r2 или d < |r1 − r2|; после возведения в квадрат оба случая складываются в одно неравенство
(25a2 − (2a − 6)2)(25a2 − 4) > 0.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2/5; 2/5) ∪ (6/7; +∞).
Вторая: (x − 4a)2 + (y − 3a)2 = (a − 2)2 — центр (4a; 3a), радиус |a − 2|.
Расстояние между центрами d = 5|a|. Общих точек нет ⟺ d > r1 + r2 или d < |r1 − r2|; после возведения в квадрат оба случая складываются в одно неравенство
(25a2 − (2a − 6)2)(25a2 − 4) > 0.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2/5; 2/5) ∪ (6/7; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.