Одна точка; ответ и по a, и по x: 1 ≤ (a+x²+2L)/(K√(Px⁴+Qx²)+a+1+L²) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Оценочные «хотя бы один корень». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a > 0, при каждом из которых множество решений неравенства
1 ≤ a + x2 + 2log10(a2 − 4a + 13)30 + a + 1 + log210(a2 − 4a + 13)
состоит ровно из одной точки, и укажите это решение.
1 ≤ a + x2 + 2log10(a2 − 4a + 13)30 + a + 1 + log210(a2 − 4a + 13)
состоит ровно из одной точки, и укажите это решение.
Показать ответ
a = 1; a = 3 — в каждом случае x = 0
Решение
Обозначим L = log10(a2 − 4a + 13) = log10((a − 2)2 + 9); при a > 0 знаменатель дроби положителен (30√(…) ≥ 0, a + 1 > 0, L2 ≥ 0), поэтому неравенство равносильно
30√(2x4 + 5x2) + a + 1 + L2 ≤ a + x2 + 2L, то есть 30√(2x4 + 5x2) ≤ x2 − (L − 1)2.
Оценим левую часть: 2x4 + 5x2 ≥ 2x4, значит она не меньше 30√2·x2 > x2 при x ≠ 0. Поэтому ненулевых решений нет ни при каком a.
Остаётся x = 0: неравенство принимает вид 0 ≤ −(L − 1)2, а это верно ровно при L = 1.
L = 1 ⟺ (a − 2)2 + 9 = 10 ⟺ (a − 2)2 = 1 ⟺ a = 1 или a = 3.
Ответ: a = 1; a = 3 — в каждом случае x = 0.
30√(2x4 + 5x2) + a + 1 + L2 ≤ a + x2 + 2L, то есть 30√(2x4 + 5x2) ≤ x2 − (L − 1)2.
Оценим левую часть: 2x4 + 5x2 ≥ 2x4, значит она не меньше 30√2·x2 > x2 при x ≠ 0. Поэтому ненулевых решений нет ни при каком a.
Остаётся x = 0: неравенство принимает вид 0 ≤ −(L − 1)2, а это верно ровно при L = 1.
L = 1 ⟺ (a − 2)2 + 9 = 10 ⟺ (a − 2)2 = 1 ⟺ a = 1 или a = 3.
Ответ: a = 1; a = 3 — в каждом случае x = 0.
Пример 2
Найдите все значения a > 0, при каждом из которых множество решений неравенства
1 ≤ a + x2 + 2log4(a2 − 6a + 12)10 + a + 1 + log24(a2 − 6a + 12)
состоит ровно из одной точки, и укажите это решение.
1 ≤ a + x2 + 2log4(a2 − 6a + 12)10 + a + 1 + log24(a2 − 6a + 12)
состоит ровно из одной точки, и укажите это решение.
Показать ответ
a = 2; a = 4 — в каждом случае x = 0
Решение
Обозначим L = log4(a2 − 6a + 12) = log4((a − 3)2 + 3); при a > 0 знаменатель дроби положителен (10√(…) ≥ 0, a + 1 > 0, L2 ≥ 0), поэтому неравенство равносильно
10√(3x4) + a + 1 + L2 ≤ a + x2 + 2L, то есть 10√(3x4) ≤ x2 − (L − 1)2.
Оценим левую часть: 3x4 ≥ 3x4, значит она не меньше 10√3·x2 > x2 при x ≠ 0. Поэтому ненулевых решений нет ни при каком a.
Остаётся x = 0: неравенство принимает вид 0 ≤ −(L − 1)2, а это верно ровно при L = 1.
L = 1 ⟺ (a − 3)2 + 3 = 4 ⟺ (a − 3)2 = 1 ⟺ a = 2 или a = 4.
Ответ: a = 2; a = 4 — в каждом случае x = 0.
10√(3x4) + a + 1 + L2 ≤ a + x2 + 2L, то есть 10√(3x4) ≤ x2 − (L − 1)2.
Оценим левую часть: 3x4 ≥ 3x4, значит она не меньше 10√3·x2 > x2 при x ≠ 0. Поэтому ненулевых решений нет ни при каком a.
Остаётся x = 0: неравенство принимает вид 0 ≤ −(L − 1)2, а это верно ровно при L = 1.
L = 1 ⟺ (a − 3)2 + 3 = 4 ⟺ (a − 3)2 = 1 ⟺ a = 2 или a = 4.
Ответ: a = 2; a = 4 — в каждом случае x = 0.
Пример 3
Найдите все значения a > 0, при каждом из которых множество решений неравенства
1 ≤ a + x2 + 2log4(a2 − 4a + 7)3 + a + 1 + log24(a2 − 4a + 7)
состоит ровно из одной точки, и укажите это решение.
1 ≤ a + x2 + 2log4(a2 − 4a + 7)3 + a + 1 + log24(a2 − 4a + 7)
состоит ровно из одной точки, и укажите это решение.
Показать ответ
a = 1; a = 3 — в каждом случае x = 0
Решение
Обозначим L = log4(a2 − 4a + 7) = log4((a − 2)2 + 3); при a > 0 знаменатель дроби положителен (3√(…) ≥ 0, a + 1 > 0, L2 ≥ 0), поэтому неравенство равносильно
3√(5x4 + 3x2) + a + 1 + L2 ≤ a + x2 + 2L, то есть 3√(5x4 + 3x2) ≤ x2 − (L − 1)2.
Оценим левую часть: 5x4 + 3x2 ≥ 5x4, значит она не меньше 3√5·x2 > x2 при x ≠ 0. Поэтому ненулевых решений нет ни при каком a.
Остаётся x = 0: неравенство принимает вид 0 ≤ −(L − 1)2, а это верно ровно при L = 1.
L = 1 ⟺ (a − 2)2 + 3 = 4 ⟺ (a − 2)2 = 1 ⟺ a = 1 или a = 3.
Ответ: a = 1; a = 3 — в каждом случае x = 0.
3√(5x4 + 3x2) + a + 1 + L2 ≤ a + x2 + 2L, то есть 3√(5x4 + 3x2) ≤ x2 − (L − 1)2.
Оценим левую часть: 5x4 + 3x2 ≥ 5x4, значит она не меньше 3√5·x2 > x2 при x ≠ 0. Поэтому ненулевых решений нет ни при каком a.
Остаётся x = 0: неравенство принимает вид 0 ≤ −(L − 1)2, а это верно ровно при L = 1.
L = 1 ⟺ (a − 2)2 + 3 = 4 ⟺ (a − 2)2 = 1 ⟺ a = 1 или a = 3.
Ответ: a = 1; a = 3 — в каждом случае x = 0.
Пример 4
Найдите все значения a > 0, при каждом из которых множество решений неравенства
1 ≤ a + x2 + 2log4(a2 − 8a + 19)20 + a + 1 + log24(a2 − 8a + 19)
состоит ровно из одной точки, и укажите это решение.
1 ≤ a + x2 + 2log4(a2 − 8a + 19)20 + a + 1 + log24(a2 − 8a + 19)
состоит ровно из одной точки, и укажите это решение.
Показать ответ
a = 3; a = 5 — в каждом случае x = 0
Решение
Обозначим L = log4(a2 − 8a + 19) = log4((a − 4)2 + 3); при a > 0 знаменатель дроби положителен (20√(…) ≥ 0, a + 1 > 0, L2 ≥ 0), поэтому неравенство равносильно
20√(17x4 + 5x2) + a + 1 + L2 ≤ a + x2 + 2L, то есть 20√(17x4 + 5x2) ≤ x2 − (L − 1)2.
Оценим левую часть: 17x4 + 5x2 ≥ 17x4, значит она не меньше 20√17·x2 > x2 при x ≠ 0. Поэтому ненулевых решений нет ни при каком a.
Остаётся x = 0: неравенство принимает вид 0 ≤ −(L − 1)2, а это верно ровно при L = 1.
L = 1 ⟺ (a − 4)2 + 3 = 4 ⟺ (a − 4)2 = 1 ⟺ a = 3 или a = 5.
Ответ: a = 3; a = 5 — в каждом случае x = 0.
20√(17x4 + 5x2) + a + 1 + L2 ≤ a + x2 + 2L, то есть 20√(17x4 + 5x2) ≤ x2 − (L − 1)2.
Оценим левую часть: 17x4 + 5x2 ≥ 17x4, значит она не меньше 20√17·x2 > x2 при x ≠ 0. Поэтому ненулевых решений нет ни при каком a.
Остаётся x = 0: неравенство принимает вид 0 ≤ −(L − 1)2, а это верно ровно при L = 1.
L = 1 ⟺ (a − 4)2 + 3 = 4 ⟺ (a − 4)2 = 1 ⟺ a = 3 или a = 5.
Ответ: a = 3; a = 5 — в каждом случае x = 0.
Пример 5
Найдите все значения a > 0, при каждом из которых множество решений неравенства
1 ≤ a + x2 + 2log5(a2 − 6a + 10)30 + a + 1 + log25(a2 − 6a + 10)
состоит ровно из одной точки, и укажите это решение.
1 ≤ a + x2 + 2log5(a2 − 6a + 10)30 + a + 1 + log25(a2 − 6a + 10)
состоит ровно из одной точки, и укажите это решение.
Показать ответ
a = 1; a = 5 — в каждом случае x = 0
Решение
Обозначим L = log5(a2 − 6a + 10) = log5((a − 3)2 + 1); при a > 0 знаменатель дроби положителен (30√(…) ≥ 0, a + 1 > 0, L2 ≥ 0), поэтому неравенство равносильно
30√(17x4 + 7x2) + a + 1 + L2 ≤ a + x2 + 2L, то есть 30√(17x4 + 7x2) ≤ x2 − (L − 1)2.
Оценим левую часть: 17x4 + 7x2 ≥ 17x4, значит она не меньше 30√17·x2 > x2 при x ≠ 0. Поэтому ненулевых решений нет ни при каком a.
Остаётся x = 0: неравенство принимает вид 0 ≤ −(L − 1)2, а это верно ровно при L = 1.
L = 1 ⟺ (a − 3)2 + 1 = 5 ⟺ (a − 3)2 = 4 ⟺ a = 1 или a = 5.
Ответ: a = 1; a = 5 — в каждом случае x = 0.
30√(17x4 + 7x2) + a + 1 + L2 ≤ a + x2 + 2L, то есть 30√(17x4 + 7x2) ≤ x2 − (L − 1)2.
Оценим левую часть: 17x4 + 7x2 ≥ 17x4, значит она не меньше 30√17·x2 > x2 при x ≠ 0. Поэтому ненулевых решений нет ни при каком a.
Остаётся x = 0: неравенство принимает вид 0 ≤ −(L − 1)2, а это верно ровно при L = 1.
L = 1 ⟺ (a − 3)2 + 1 = 5 ⟺ (a − 3)2 = 4 ⟺ a = 1 или a = 5.
Ответ: a = 1; a = 5 — в каждом случае x = 0.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.