Одно или два решения: {|x²+px+q| = (y−k)²+cx+d; n₁x+n₂y = a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Кривая с модулем + прямая. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x2 − x − 12| = (y + 1)2 − x − 123x − 4y = a
имеет одно или два различных решения.
|x2 − x − 12| = (y + 1)2 − x − 123x − 4y = a
имеет одно или два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −18) ∪ (−17; 0] ∪ [7; +∞)
Решение
Корни подмодульного трёхчлена — x = −3 и x = 4.
Вне отрезка [−3; 4] модуль раскрывается со знаком «+», и получается (y + 1)2 = x2, то есть ЧЕТЫРЕ луча на прямых y = −1 + x и y = −1 − x.
Внутри отрезка знак противоположный: (x − 1)2 + (y + 1)2 = 25 — дуга окружности. В концах отрезка обе записи дают одни и те же точки, кривая непрерывна.
Прямая 3x − 4y = a бежит параллельно самой себе. Её касание с окружностью происходит при a = 7 ± 25 (радиус подобран так, что ρ2 = 32 + (−4)2), а через концы дуги она проходит при a = −17, 0, 7, 32.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; одно или два решения получается на (−∞; −18) ∪ (−17; 0] ∪ [7; +∞).
Ответ: (−∞; −18) ∪ (−17; 0] ∪ [7; +∞).
Вне отрезка [−3; 4] модуль раскрывается со знаком «+», и получается (y + 1)2 = x2, то есть ЧЕТЫРЕ луча на прямых y = −1 + x и y = −1 − x.
Внутри отрезка знак противоположный: (x − 1)2 + (y + 1)2 = 25 — дуга окружности. В концах отрезка обе записи дают одни и те же точки, кривая непрерывна.
Прямая 3x − 4y = a бежит параллельно самой себе. Её касание с окружностью происходит при a = 7 ± 25 (радиус подобран так, что ρ2 = 32 + (−4)2), а через концы дуги она проходит при a = −17, 0, 7, 32.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; одно или два решения получается на (−∞; −18) ∪ (−17; 0] ∪ [7; +∞).
Ответ: (−∞; −18) ∪ (−17; 0] ∪ [7; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x2 + 3x − 4| = y2 + 5x − 54x + 3y = a
имеет одно или два различных решения.
|x2 + 3x − 4| = y2 + 5x − 54x + 3y = a
имеет одно или два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 4) ∪ (9; +∞)
Решение
Корни подмодульного трёхчлена — x = −4 и x = 1.
Вне отрезка [−4; 1] модуль раскрывается со знаком «+», и получается y2 = (x − 1)2, то есть ЧЕТЫРЕ луча на прямых y = (x − 1) и y = (x − 1).
Внутри отрезка знак противоположный: (x + 4)2 + y2 = 25 — дуга окружности. В концах отрезка обе записи дают одни и те же точки, кривая непрерывна.
Прямая 4x + 3y = a бежит параллельно самой себе. Её касание с окружностью происходит при a = -16 ± 25 (радиус подобран так, что ρ2 = 42 + 32), а через концы дуги она проходит при a = −31, −1, 4.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; одно или два решения получается на (−∞; 4) ∪ (9; +∞).
Ответ: (−∞; 4) ∪ (9; +∞).
Вне отрезка [−4; 1] модуль раскрывается со знаком «+», и получается y2 = (x − 1)2, то есть ЧЕТЫРЕ луча на прямых y = (x − 1) и y = (x − 1).
Внутри отрезка знак противоположный: (x + 4)2 + y2 = 25 — дуга окружности. В концах отрезка обе записи дают одни и те же точки, кривая непрерывна.
Прямая 4x + 3y = a бежит параллельно самой себе. Её касание с окружностью происходит при a = -16 ± 25 (радиус подобран так, что ρ2 = 42 + 32), а через концы дуги она проходит при a = −31, −1, 4.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; одно или два решения получается на (−∞; 4) ∪ (9; +∞).
Ответ: (−∞; 4) ∪ (9; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x2 − x − 6| = y2 − x − 62x + 3y = a
имеет одно или два различных решения.
|x2 − x − 6| = y2 − x − 62x + 3y = a
имеет одно или два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −11) ∪ (−10; −3] ∪ [2; +∞)
Решение
Корни подмодульного трёхчлена — x = −2 и x = 3.
Вне отрезка [−2; 3] модуль раскрывается со знаком «+», и получается y2 = x2, то есть ЧЕТЫРЕ луча на прямых y = x и y = x.
Внутри отрезка знак противоположный: (x − 1)2 + y2 = 13 — дуга окружности. В концах отрезка обе записи дают одни и те же точки, кривая непрерывна.
Прямая 2x + 3y = a бежит параллельно самой себе. Её касание с окружностью происходит при a = 2 ± 13 (радиус подобран так, что ρ2 = 22 + 32), а через концы дуги она проходит при a = −10, −3, 2, 15.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; одно или два решения получается на (−∞; −11) ∪ (−10; −3] ∪ [2; +∞).
Ответ: (−∞; −11) ∪ (−10; −3] ∪ [2; +∞).
Вне отрезка [−2; 3] модуль раскрывается со знаком «+», и получается y2 = x2, то есть ЧЕТЫРЕ луча на прямых y = x и y = x.
Внутри отрезка знак противоположный: (x − 1)2 + y2 = 13 — дуга окружности. В концах отрезка обе записи дают одни и те же точки, кривая непрерывна.
Прямая 2x + 3y = a бежит параллельно самой себе. Её касание с окружностью происходит при a = 2 ± 13 (радиус подобран так, что ρ2 = 22 + 32), а через концы дуги она проходит при a = −10, −3, 2, 15.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; одно или два решения получается на (−∞; −11) ∪ (−10; −3] ∪ [2; +∞).
Ответ: (−∞; −11) ∪ (−10; −3] ∪ [2; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x2 − x − 6| = (y − 1)2 − 5x − 103x − 4y = a
имеет одно или два различных решения.
|x2 − x − 6| = (y − 1)2 − 5x − 103x − 4y = a
имеет одно или два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −20) ∪ (−15; +∞)
Решение
Корни подмодульного трёхчлена — x = −2 и x = 3.
Вне отрезка [−2; 3] модуль раскрывается со знаком «+», и получается (y − 1)2 = (x + 2)2, то есть ЧЕТЫРЕ луча на прямых y = 1 + (x + 2) и y = 1 − (x + 2).
Внутри отрезка знак противоположный: (x − 3)2 + (y − 1)2 = 25 — дуга окружности. В концах отрезка обе записи дают одни и те же точки, кривая непрерывна.
Прямая 3x − 4y = a бежит параллельно самой себе. Её касание с окружностью происходит при a = 5 ± 25 (радиус подобран так, что ρ2 = 32 + (−4)2), а через концы дуги она проходит при a = −15, −10, 25.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; одно или два решения получается на (−∞; −20) ∪ (−15; +∞).
Ответ: (−∞; −20) ∪ (−15; +∞).
Вне отрезка [−2; 3] модуль раскрывается со знаком «+», и получается (y − 1)2 = (x + 2)2, то есть ЧЕТЫРЕ луча на прямых y = 1 + (x + 2) и y = 1 − (x + 2).
Внутри отрезка знак противоположный: (x − 3)2 + (y − 1)2 = 25 — дуга окружности. В концах отрезка обе записи дают одни и те же точки, кривая непрерывна.
Прямая 3x − 4y = a бежит параллельно самой себе. Её касание с окружностью происходит при a = 5 ± 25 (радиус подобран так, что ρ2 = 32 + (−4)2), а через концы дуги она проходит при a = −15, −10, 25.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; одно или два решения получается на (−∞; −20) ∪ (−15; +∞).
Ответ: (−∞; −20) ∪ (−15; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x2 − x − 6| = (y + 1)2 − 5x − 104x + 3y = a
имеет одно или два различных решения.
|x2 − x − 6| = (y + 1)2 − 5x − 104x + 3y = a
имеет одно или два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −16) ∪ (−11; +∞)
Решение
Корни подмодульного трёхчлена — x = −2 и x = 3.
Вне отрезка [−2; 3] модуль раскрывается со знаком «+», и получается (y + 1)2 = (x + 2)2, то есть ЧЕТЫРЕ луча на прямых y = −1 + (x + 2) и y = −1 − (x + 2).
Внутри отрезка знак противоположный: (x − 3)2 + (y + 1)2 = 25 — дуга окружности. В концах отрезка обе записи дают одни и те же точки, кривая непрерывна.
Прямая 4x + 3y = a бежит параллельно самой себе. Её касание с окружностью происходит при a = 9 ± 25 (радиус подобран так, что ρ2 = 42 + 32), а через концы дуги она проходит при a = −11, −6, 24.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; одно или два решения получается на (−∞; −16) ∪ (−11; +∞).
Ответ: (−∞; −16) ∪ (−11; +∞).
Вне отрезка [−2; 3] модуль раскрывается со знаком «+», и получается (y + 1)2 = (x + 2)2, то есть ЧЕТЫРЕ луча на прямых y = −1 + (x + 2) и y = −1 − (x + 2).
Внутри отрезка знак противоположный: (x − 3)2 + (y + 1)2 = 25 — дуга окружности. В концах отрезка обе записи дают одни и те же точки, кривая непрерывна.
Прямая 4x + 3y = a бежит параллельно самой себе. Её касание с окружностью происходит при a = 9 ± 25 (радиус подобран так, что ρ2 = 42 + 32), а через концы дуги она проходит при a = −11, −6, 24.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; одно или два решения получается на (−∞; −16) ∪ (−11; +∞).
Ответ: (−∞; −16) ∪ (−11; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.