Ограничение по y, единственное решение — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Распадающаяся кривая + прямая. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + 4x − 7y + 12) = 0a = x + y
имеет единственное решение.
(y2 − xy + 4x − 7y + 12) = 0a = x + y
имеет единственное решение.
Показать ответ
(−∞; −5] ∪ {5} ∪ [9; +∞)
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 4)(y − x − 3) · √(x + 4) = 0. ОДЗ: x ≥ −4 и y < 6.
Значит кривая — это горизонталь y = 4, прямая y = x + 3 и вертикаль x = −4.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 4; 4), ((a − 3)/2; (a + 3)/2) и (−4; a + 4) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−∞; −5] ∪ {5} ∪ [9; +∞).
Значит кривая — это горизонталь y = 4, прямая y = x + 3 и вертикаль x = −4.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 4; 4), ((a − 3)/2; (a + 3)/2) и (−4; a + 4) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−∞; −5] ∪ {5} ∪ [9; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + 5x − 9y + 20) = 0a = x + y
имеет единственное решение.
(y2 − xy + 5x − 9y + 20) = 0a = x + y
имеет единственное решение.
Показать ответ
(−∞; −6] ∪ {6} ∪ [10; +∞)
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 5)(y − x − 4) · √(x + 5) = 0. ОДЗ: x ≥ −5 и y < 7.
Значит кривая — это горизонталь y = 5, прямая y = x + 4 и вертикаль x = −5.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 5; 5), ((a − 4)/2; (a + 4)/2) и (−5; a + 5) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−∞; −6] ∪ {6} ∪ [10; +∞).
Значит кривая — это горизонталь y = 5, прямая y = x + 4 и вертикаль x = −5.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 5; 5), ((a − 4)/2; (a + 4)/2) и (−5; a + 5) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−∞; −6] ∪ {6} ∪ [10; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + 6x − 10y + 24) = 0a = x + y
имеет единственное решение.
(y2 − xy + 6x − 10y + 24) = 0a = x + y
имеет единственное решение.
Показать ответ
(−∞; −6] ∪ {8} ∪ [14; +∞)
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 6)(y − x − 4) · √(x + 5) = 0. ОДЗ: x ≥ −5 и y < 9.
Значит кривая — это горизонталь y = 6, прямая y = x + 4 и вертикаль x = −5.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 6; 6), ((a − 4)/2; (a + 4)/2) и (−5; a + 5) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−∞; −6] ∪ {8} ∪ [14; +∞).
Значит кривая — это горизонталь y = 6, прямая y = x + 4 и вертикаль x = −5.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 6; 6), ((a − 4)/2; (a + 4)/2) и (−5; a + 5) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−∞; −6] ∪ {8} ∪ [14; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + 5x − 8y + 15) = 0a = x + y
имеет единственное решение.
(y2 − xy + 5x − 8y + 15) = 0a = x + y
имеет единственное решение.
Показать ответ
(−∞; −9] ∪ {7} ∪ [13; +∞)
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 5)(y − x − 3) · √(x + 6) = 0. ОДЗ: x ≥ −6 и y < 8.
Значит кривая — это горизонталь y = 5, прямая y = x + 3 и вертикаль x = −6.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 5; 5), ((a − 3)/2; (a + 3)/2) и (−6; a + 6) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−∞; −9] ∪ {7} ∪ [13; +∞).
Значит кривая — это горизонталь y = 5, прямая y = x + 3 и вертикаль x = −6.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 5; 5), ((a − 3)/2; (a + 3)/2) и (−6; a + 6) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−∞; −9] ∪ {7} ∪ [13; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.