Ограничение по y, ровно три решения — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Распадающаяся кривая + прямая. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
xy2 − 2xy − 6y + 12 = 0y = ax
имеет ровно три различных решения.
xy2 − 2xy − 6y + 12 = 0y = ax
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(0; 2/3) ∪ (2/3; 6)
Решение
Числитель раскладывается: (y − 2)(xy − 6), поэтому кривая — это прямая y = 2 и гипербола xy = 6. ОДЗ: y < 6.
Прямая y = ax проходит через начало координат: с прямой y = 2 она пересекается в точке x = 2/a, а с гиперболой — там, где ax2 = 6, то есть при a > 0 в двух точках x = ±√(6/a).
Ответ: (0; 2/3) ∪ (2/3; 6).
Прямая y = ax проходит через начало координат: с прямой y = 2 она пересекается в точке x = 2/a, а с гиперболой — там, где ax2 = 6, то есть при a > 0 в двух точках x = ±√(6/a).
Ответ: (0; 2/3) ∪ (2/3; 6).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
xy2 − xy − 8y + 8 = 0y = ax
имеет ровно три различных решения.
xy2 − xy − 8y + 8 = 0y = ax
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(0; 1/8) ∪ (1/8; 8)
Решение
Числитель раскладывается: (y − 1)(xy − 8), поэтому кривая — это прямая y = 1 и гипербола xy = 8. ОДЗ: y < 8.
Прямая y = ax проходит через начало координат: с прямой y = 1 она пересекается в точке x = 1/a, а с гиперболой — там, где ax2 = 8, то есть при a > 0 в двух точках x = ±√(8/a).
Ответ: (0; 1/8) ∪ (1/8; 8).
Прямая y = ax проходит через начало координат: с прямой y = 1 она пересекается в точке x = 1/a, а с гиперболой — там, где ax2 = 8, то есть при a > 0 в двух точках x = ±√(8/a).
Ответ: (0; 1/8) ∪ (1/8; 8).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
xy2 − xy − 5y + 5 = 0y = ax
имеет ровно три различных решения.
xy2 − xy − 5y + 5 = 0y = ax
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(0; 1/5) ∪ (1/5; 5)
Решение
Числитель раскладывается: (y − 1)(xy − 5), поэтому кривая — это прямая y = 1 и гипербола xy = 5. ОДЗ: y < 5.
Прямая y = ax проходит через начало координат: с прямой y = 1 она пересекается в точке x = 1/a, а с гиперболой — там, где ax2 = 5, то есть при a > 0 в двух точках x = ±√(5/a).
Ответ: (0; 1/5) ∪ (1/5; 5).
Прямая y = ax проходит через начало координат: с прямой y = 1 она пересекается в точке x = 1/a, а с гиперболой — там, где ax2 = 5, то есть при a > 0 в двух точках x = ±√(5/a).
Ответ: (0; 1/5) ∪ (1/5; 5).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
xy2 − xy − 6y + 6 = 0y = ax
имеет ровно три различных решения.
xy2 − xy − 6y + 6 = 0y = ax
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(0; 1/6) ∪ (1/6; 6)
Решение
Числитель раскладывается: (y − 1)(xy − 6), поэтому кривая — это прямая y = 1 и гипербола xy = 6. ОДЗ: y < 6.
Прямая y = ax проходит через начало координат: с прямой y = 1 она пересекается в точке x = 1/a, а с гиперболой — там, где ax2 = 6, то есть при a > 0 в двух точках x = ±√(6/a).
Ответ: (0; 1/6) ∪ (1/6; 6).
Прямая y = ax проходит через начало координат: с прямой y = 1 она пересекается в точке x = 1/a, а с гиперболой — там, где ax2 = 6, то есть при a > 0 в двух точках x = ±√(6/a).
Ответ: (0; 1/6) ∪ (1/6; 6).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.