Ответ в π: (kx+a+1+tg x)² = (kx+a−1−tg x)² — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«A² = B²» — единственное решение на отрезке. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при которых уравнение
(6x + a + 1 + tg x)2 = (6x + a − 1 − tg x)2
имеет единственное решение на отрезке −π2; π2.
(6x + a + 1 + tg x)2 = (6x + a − 1 − tg x)2
имеет единственное решение на отрезке −π2; π2.
Показать ответ
(−∞; −3π] ∪ {3π/2} ∪ [3π; +∞)
Решение
Разность квадратов: (A − B)(A + B) = 0, где A − B = 2(1 + tg x), A + B = 2(6x + a).
Первый множитель даёт tg x = −1; на промежутке (−π/2; π/2) это ровно один корень x = −π/4 (концы отрезка не входят в ОДЗ тангенса).
Второй даёт x = −a/6; он попадает в промежуток при −3π < a < 3π и совпадает с −π/4 при a = 3/2π.
Значит решение единственно, когда второй корень либо вне промежутка, либо совпал с первым.
Ответ: (−∞; −3π] ∪ {3π/2} ∪ [3π; +∞).
Первый множитель даёт tg x = −1; на промежутке (−π/2; π/2) это ровно один корень x = −π/4 (концы отрезка не входят в ОДЗ тангенса).
Второй даёт x = −a/6; он попадает в промежуток при −3π < a < 3π и совпадает с −π/4 при a = 3/2π.
Значит решение единственно, когда второй корень либо вне промежутка, либо совпал с первым.
Ответ: (−∞; −3π] ∪ {3π/2} ∪ [3π; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при которых уравнение
(3x + a + 1 + tg x)2 = (3x + a − 1 − tg x)2
имеет единственное решение на отрезке −π2; π2.
(3x + a + 1 + tg x)2 = (3x + a − 1 − tg x)2
имеет единственное решение на отрезке −π2; π2.
Показать ответ
(−∞; −3π/2] ∪ {3π/4} ∪ [3π/2; +∞)
Решение
Разность квадратов: (A − B)(A + B) = 0, где A − B = 2(1 + tg x), A + B = 2(3x + a).
Первый множитель даёт tg x = −1; на промежутке (−π/2; π/2) это ровно один корень x = −π/4 (концы отрезка не входят в ОДЗ тангенса).
Второй даёт x = −a/3; он попадает в промежуток при −3/2π < a < 3/2π и совпадает с −π/4 при a = 3/4π.
Значит решение единственно, когда второй корень либо вне промежутка, либо совпал с первым.
Ответ: (−∞; −3π/2] ∪ {3π/4} ∪ [3π/2; +∞).
Первый множитель даёт tg x = −1; на промежутке (−π/2; π/2) это ровно один корень x = −π/4 (концы отрезка не входят в ОДЗ тангенса).
Второй даёт x = −a/3; он попадает в промежуток при −3/2π < a < 3/2π и совпадает с −π/4 при a = 3/4π.
Значит решение единственно, когда второй корень либо вне промежутка, либо совпал с первым.
Ответ: (−∞; −3π/2] ∪ {3π/4} ∪ [3π/2; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при которых уравнение
(4x + a + 1 + tg x)2 = (4x + a − 1 − tg x)2
имеет единственное решение на отрезке −π2; π2.
(4x + a + 1 + tg x)2 = (4x + a − 1 − tg x)2
имеет единственное решение на отрезке −π2; π2.
Показать ответ
(−∞; −2π] ∪ {π} ∪ [2π; +∞)
Решение
Разность квадратов: (A − B)(A + B) = 0, где A − B = 2(1 + tg x), A + B = 2(4x + a).
Первый множитель даёт tg x = −1; на промежутке (−π/2; π/2) это ровно один корень x = −π/4 (концы отрезка не входят в ОДЗ тангенса).
Второй даёт x = −a/4; он попадает в промежуток при −2π < a < 2π и совпадает с −π/4 при a = 1π.
Значит решение единственно, когда второй корень либо вне промежутка, либо совпал с первым.
Ответ: (−∞; −2π] ∪ {π} ∪ [2π; +∞).
Первый множитель даёт tg x = −1; на промежутке (−π/2; π/2) это ровно один корень x = −π/4 (концы отрезка не входят в ОДЗ тангенса).
Второй даёт x = −a/4; он попадает в промежуток при −2π < a < 2π и совпадает с −π/4 при a = 1π.
Значит решение единственно, когда второй корень либо вне промежутка, либо совпал с первым.
Ответ: (−∞; −2π] ∪ {π} ∪ [2π; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при которых уравнение
(2x + a + 1 + tg x)2 = (2x + a − 1 − tg x)2
имеет единственное решение на отрезке −π2; π2.
(2x + a + 1 + tg x)2 = (2x + a − 1 − tg x)2
имеет единственное решение на отрезке −π2; π2.
Показать ответ
(−∞; −π] ∪ {π/2} ∪ [π; +∞)
Решение
Разность квадратов: (A − B)(A + B) = 0, где A − B = 2(1 + tg x), A + B = 2(2x + a).
Первый множитель даёт tg x = −1; на промежутке (−π/2; π/2) это ровно один корень x = −π/4 (концы отрезка не входят в ОДЗ тангенса).
Второй даёт x = −a/2; он попадает в промежуток при −1π < a < 1π и совпадает с −π/4 при a = 1/2π.
Значит решение единственно, когда второй корень либо вне промежутка, либо совпал с первым.
Ответ: (−∞; −π] ∪ {π/2} ∪ [π; +∞).
Первый множитель даёт tg x = −1; на промежутке (−π/2; π/2) это ровно один корень x = −π/4 (концы отрезка не входят в ОДЗ тангенса).
Второй даёт x = −a/2; он попадает в промежуток при −1π < a < 1π и совпадает с −π/4 при a = 1/2π.
Значит решение единственно, когда второй корень либо вне промежутка, либо совпал с первым.
Ответ: (−∞; −π] ∪ {π/2} ∪ [π; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при которых уравнение
(x + a + 1 + tg x)2 = (x + a − 1 − tg x)2
имеет единственное решение на отрезке −π2; π2.
(x + a + 1 + tg x)2 = (x + a − 1 − tg x)2
имеет единственное решение на отрезке −π2; π2.
Показать ответ
(−∞; −π/2] ∪ {π/4} ∪ [π/2; +∞)
Решение
Разность квадратов: (A − B)(A + B) = 0, где A − B = 2(1 + tg x), A + B = 2(x + a).
Первый множитель даёт tg x = −1; на промежутке (−π/2; π/2) это ровно один корень x = −π/4 (концы отрезка не входят в ОДЗ тангенса).
Второй даёт x = −a/1; он попадает в промежуток при −1/2π < a < 1/2π и совпадает с −π/4 при a = 1/4π.
Значит решение единственно, когда второй корень либо вне промежутка, либо совпал с первым.
Ответ: (−∞; −π/2] ∪ {π/4} ∪ [π/2; +∞).
Первый множитель даёт tg x = −1; на промежутке (−π/2; π/2) это ровно один корень x = −π/4 (концы отрезка не входят в ОДЗ тангенса).
Второй даёт x = −a/1; он попадает в промежуток при −1/2π < a < 1/2π и совпадает с −π/4 при a = 1/4π.
Значит решение единственно, когда второй корень либо вне промежутка, либо совпал с первым.
Ответ: (−∞; −π/2] ∪ {π/4} ∪ [π/2; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.