{полоса; окружность} — единственное решение — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 2)(x + 2) ≤ 03x2 + 3y2 − 6a(x − y) − 12y + 5a2 − 14a + 12 = 0
имеет единственное решение.
(x − 2)(x + 2) ≤ 03x2 + 3y2 − 6a(x − y) − 12y + 5a2 − 14a + 12 = 0
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−3} ∪ {−2} ∪ {0} ∪ {6}
Решение
Первая строка задаёт полосу −2 ≤ x ≤ 2.
Во второй разделим всё на 3 и соберём полные квадраты: (x − a)2 + (y + a − 2)2 = a(a + 2)3. Это окружность с центром (a; 2 − a) и квадратом радиуса r2 = a(a + 2)/3; она существует при a(a + 2) ≥ 0.
Полоса и окружность имеют ровно одну общую точку в двух случаях: r = 0 и центр лежит в полосе (a = 0 или a = −2), либо окружность касается края полосы снаружи — a − r = 2 при a > 2 или a + r = −2 при a < −2. Во всех остальных случаях общая часть либо пуста, либо содержит целую дугу.
Ответ: {−3} ∪ {−2} ∪ {0} ∪ {6}.
Во второй разделим всё на 3 и соберём полные квадраты: (x − a)2 + (y + a − 2)2 = a(a + 2)3. Это окружность с центром (a; 2 − a) и квадратом радиуса r2 = a(a + 2)/3; она существует при a(a + 2) ≥ 0.
Полоса и окружность имеют ровно одну общую точку в двух случаях: r = 0 и центр лежит в полосе (a = 0 или a = −2), либо окружность касается края полосы снаружи — a − r = 2 при a > 2 или a + r = −2 при a < −2. Во всех остальных случаях общая часть либо пуста, либо содержит целую дугу.
Ответ: {−3} ∪ {−2} ∪ {0} ∪ {6}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 2)(x + 1) ≤ 07x2 + 7y2 − 14a(x − y) − 28y + 13a2 − 29a + 28 = 0
имеет единственное решение.
(x − 2)(x + 1) ≤ 07x2 + 7y2 − 14a(x − y) − 28y + 13a2 − 29a + 28 = 0
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−7/6} ∪ {−1} ∪ {0} ∪ {7/2}
Решение
Первая строка задаёт полосу −1 ≤ x ≤ 2.
Во второй разделим всё на 7 и соберём полные квадраты: (x − a)2 + (y + a − 2)2 = a(a + 1)7. Это окружность с центром (a; 2 − a) и квадратом радиуса r2 = a(a + 1)/7; она существует при a(a + 1) ≥ 0.
Полоса и окружность имеют ровно одну общую точку в двух случаях: r = 0 и центр лежит в полосе (a = 0 или a = −1), либо окружность касается края полосы снаружи — a − r = 2 при a > 2 или a + r = −1 при a < −1. Во всех остальных случаях общая часть либо пуста, либо содержит целую дугу.
Ответ: {−7/6} ∪ {−1} ∪ {0} ∪ {7/2}.
Во второй разделим всё на 7 и соберём полные квадраты: (x − a)2 + (y + a − 2)2 = a(a + 1)7. Это окружность с центром (a; 2 − a) и квадратом радиуса r2 = a(a + 1)/7; она существует при a(a + 1) ≥ 0.
Полоса и окружность имеют ровно одну общую точку в двух случаях: r = 0 и центр лежит в полосе (a = 0 или a = −1), либо окружность касается края полосы снаружи — a − r = 2 при a > 2 или a + r = −1 при a < −1. Во всех остальных случаях общая часть либо пуста, либо содержит целую дугу.
Ответ: {−7/6} ∪ {−1} ∪ {0} ∪ {7/2}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 2)(x + 3) ≤ 04x2 + 4y2 − 8a(x − y) − 24y + 7a2 − 27a + 36 = 0
имеет единственное решение.
(x − 2)(x + 3) ≤ 04x2 + 4y2 − 8a(x − y) − 24y + 7a2 − 27a + 36 = 0
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−4} ∪ {−3} ∪ {0} ∪ {16/3}
Решение
Первая строка задаёт полосу −3 ≤ x ≤ 2.
Во второй разделим всё на 4 и соберём полные квадраты: (x − a)2 + (y + a − 3)2 = a(a + 3)4. Это окружность с центром (a; 3 − a) и квадратом радиуса r2 = a(a + 3)/4; она существует при a(a + 3) ≥ 0.
Полоса и окружность имеют ровно одну общую точку в двух случаях: r = 0 и центр лежит в полосе (a = 0 или a = −3), либо окружность касается края полосы снаружи — a − r = 2 при a > 2 или a + r = −3 при a < −3. Во всех остальных случаях общая часть либо пуста, либо содержит целую дугу.
Ответ: {−4} ∪ {−3} ∪ {0} ∪ {16/3}.
Во второй разделим всё на 4 и соберём полные квадраты: (x − a)2 + (y + a − 3)2 = a(a + 3)4. Это окружность с центром (a; 3 − a) и квадратом радиуса r2 = a(a + 3)/4; она существует при a(a + 3) ≥ 0.
Полоса и окружность имеют ровно одну общую точку в двух случаях: r = 0 и центр лежит в полосе (a = 0 или a = −3), либо окружность касается края полосы снаружи — a − r = 2 при a > 2 или a + r = −3 при a < −3. Во всех остальных случаях общая часть либо пуста, либо содержит целую дугу.
Ответ: {−4} ∪ {−3} ∪ {0} ∪ {16/3}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 2)(x + 3) ≤ 05x2 + 5y2 − 10a(x − y) − 30y + 9a2 − 31a + 45 = 0
имеет единственное решение.
(x − 2)(x + 3) ≤ 05x2 + 5y2 − 10a(x − y) − 30y + 9a2 − 31a + 45 = 0
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−5} ∪ {−1} ∪ {0} ∪ {4}
Решение
Первая строка задаёт полосу −3 ≤ x ≤ 2.
Во второй разделим всё на 5 и соберём полные квадраты: (x − a)2 + (y + a − 3)2 = a(a + 1)5. Это окружность с центром (a; 3 − a) и квадратом радиуса r2 = a(a + 1)/5; она существует при a(a + 1) ≥ 0.
Полоса и окружность имеют ровно одну общую точку в двух случаях: r = 0 и центр лежит в полосе (a = 0 или a = −1), либо окружность касается края полосы снаружи — a − r = 2 при a > 2 или a + r = −3 при a < −3. Во всех остальных случаях общая часть либо пуста, либо содержит целую дугу.
Ответ: {−5} ∪ {−1} ∪ {0} ∪ {4}.
Во второй разделим всё на 5 и соберём полные квадраты: (x − a)2 + (y + a − 3)2 = a(a + 1)5. Это окружность с центром (a; 3 − a) и квадратом радиуса r2 = a(a + 1)/5; она существует при a(a + 1) ≥ 0.
Полоса и окружность имеют ровно одну общую точку в двух случаях: r = 0 и центр лежит в полосе (a = 0 или a = −1), либо окружность касается края полосы снаружи — a − r = 2 при a > 2 или a + r = −3 при a < −3. Во всех остальных случаях общая часть либо пуста, либо содержит целую дугу.
Ответ: {−5} ∪ {−1} ∪ {0} ∪ {4}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 1)(x + 3) ≤ 05x2 + 5y2 − 10a(x − y) − 30y + 9a2 − 32a + 45 = 0
имеет единственное решение.
(x − 1)(x + 3) ≤ 05x2 + 5y2 − 10a(x − y) − 30y + 9a2 − 32a + 45 = 0
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−9/2} ∪ {−2} ∪ {0} ∪ {5/2}
Решение
Первая строка задаёт полосу −3 ≤ x ≤ 1.
Во второй разделим всё на 5 и соберём полные квадраты: (x − a)2 + (y + a − 3)2 = a(a + 2)5. Это окружность с центром (a; 3 − a) и квадратом радиуса r2 = a(a + 2)/5; она существует при a(a + 2) ≥ 0.
Полоса и окружность имеют ровно одну общую точку в двух случаях: r = 0 и центр лежит в полосе (a = 0 или a = −2), либо окружность касается края полосы снаружи — a − r = 1 при a > 1 или a + r = −3 при a < −3. Во всех остальных случаях общая часть либо пуста, либо содержит целую дугу.
Ответ: {−9/2} ∪ {−2} ∪ {0} ∪ {5/2}.
Во второй разделим всё на 5 и соберём полные квадраты: (x − a)2 + (y + a − 3)2 = a(a + 2)5. Это окружность с центром (a; 3 − a) и квадратом радиуса r2 = a(a + 2)/5; она существует при a(a + 2) ≥ 0.
Полоса и окружность имеют ровно одну общую точку в двух случаях: r = 0 и центр лежит в полосе (a = 0 или a = −2), либо окружность касается края полосы снаружи — a − r = 1 при a > 1 или a + r = −3 при a < −3. Во всех остальных случаях общая часть либо пуста, либо содержит целую дугу.
Ответ: {−9/2} ∪ {−2} ∪ {0} ∪ {5/2}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.