|px²+qx+r| = a−px²−sx — нет решений или единственное — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Рациональные, четвёртой степени, кусочные. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|3x2 + 9x − 30| = a − 3x2 − 6x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
|3x2 + 9x − 30| = a − 3x2 − 6x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
Показать ответ
(−∞; 24]
Решение
Перепишем: a = |3x2 + 9x − 30| + 3x2 + 6x.
Там, где 3x2 + 9x − 30 ≥ 0 (то есть x ≤ -5 или x ≥ 2), правая часть равна 6x2 + 15x − 30, а между корнями — линейной функции −3x + 30 (квадраты сокращаются).
Значит надо найти те a, при которых горизонтальная прямая пересекает этот график не более одного раза.
Ответ: (−∞; 24].
Там, где 3x2 + 9x − 30 ≥ 0 (то есть x ≤ -5 или x ≥ 2), правая часть равна 6x2 + 15x − 30, а между корнями — линейной функции −3x + 30 (квадраты сокращаются).
Значит надо найти те a, при которых горизонтальная прямая пересекает этот график не более одного раза.
Ответ: (−∞; 24].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|2x2 + 6x − 20| = a − 2x2 − 10x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
|2x2 + 6x − 20| = a − 2x2 − 10x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
Показать ответ
(−∞; 0]
Решение
Перепишем: a = |2x2 + 6x − 20| + 2x2 + 10x.
Там, где 2x2 + 6x − 20 ≥ 0 (то есть x ≤ -5 или x ≥ 2), правая часть равна 4x2 + 16x − 20, а между корнями — линейной функции 4x + 20 (квадраты сокращаются).
Значит надо найти те a, при которых горизонтальная прямая пересекает этот график не более одного раза.
Ответ: (−∞; 0].
Там, где 2x2 + 6x − 20 ≥ 0 (то есть x ≤ -5 или x ≥ 2), правая часть равна 4x2 + 16x − 20, а между корнями — линейной функции 4x + 20 (квадраты сокращаются).
Значит надо найти те a, при которых горизонтальная прямая пересекает этот график не более одного раза.
Ответ: (−∞; 0].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|3x2 − 3x − 18| = a − 3x2 − 12x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
|3x2 − 3x − 18| = a − 3x2 − 12x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
Показать ответ
(−∞; −12]
Решение
Перепишем: a = |3x2 − 3x − 18| + 3x2 + 12x.
Там, где 3x2 − 3x − 18 ≥ 0 (то есть x ≤ -2 или x ≥ 3), правая часть равна 6x2 + 9x − 18, а между корнями — линейной функции 15x + 18 (квадраты сокращаются).
Значит надо найти те a, при которых горизонтальная прямая пересекает этот график не более одного раза.
Ответ: (−∞; −12].
Там, где 3x2 − 3x − 18 ≥ 0 (то есть x ≤ -2 или x ≥ 3), правая часть равна 6x2 + 9x − 18, а между корнями — линейной функции 15x + 18 (квадраты сокращаются).
Значит надо найти те a, при которых горизонтальная прямая пересекает этот график не более одного раза.
Ответ: (−∞; −12].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|3x2 + 9x − 30| = a − 3x2 − 12x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
|3x2 + 9x − 30| = a − 3x2 − 12x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
Показать ответ
(−∞; 15]
Решение
Перепишем: a = |3x2 + 9x − 30| + 3x2 + 12x.
Там, где 3x2 + 9x − 30 ≥ 0 (то есть x ≤ -5 или x ≥ 2), правая часть равна 6x2 + 21x − 30, а между корнями — линейной функции 3x + 30 (квадраты сокращаются).
Значит надо найти те a, при которых горизонтальная прямая пересекает этот график не более одного раза.
Ответ: (−∞; 15].
Там, где 3x2 + 9x − 30 ≥ 0 (то есть x ≤ -5 или x ≥ 2), правая часть равна 6x2 + 21x − 30, а между корнями — линейной функции 3x + 30 (квадраты сокращаются).
Значит надо найти те a, при которых горизонтальная прямая пересекает этот график не более одного раза.
Ответ: (−∞; 15].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|2x2 − 2x − 12| = a − 2x2 − 10x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
|2x2 − 2x − 12| = a − 2x2 − 10x
либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
Показать ответ
(−∞; −12]
Решение
Перепишем: a = |2x2 − 2x − 12| + 2x2 + 10x.
Там, где 2x2 − 2x − 12 ≥ 0 (то есть x ≤ -2 или x ≥ 3), правая часть равна 4x2 + 8x − 12, а между корнями — линейной функции 12x + 12 (квадраты сокращаются).
Значит надо найти те a, при которых горизонтальная прямая пересекает этот график не более одного раза.
Ответ: (−∞; −12].
Там, где 2x2 − 2x − 12 ≥ 0 (то есть x ≤ -2 или x ≥ 3), правая часть равна 4x2 + 8x − 12, а между корнями — линейной функции 12x + 12 (квадраты сокращаются).
Значит надо найти те a, при которых горизонтальная прямая пересекает этот график не более одного раза.
Ответ: (−∞; −12].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.