Равенство квадратов с логарифмом — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«A² = B²» — единственное решение на отрезке. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при которых уравнение
(3x + ln(x + 2a))2 = (3x − ln(x + 2a))2
имеет единственный корень на отрезке [0; 1].
(3x + ln(x + 2a))2 = (3x − ln(x + 2a))2
имеет единственный корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
{0} ∪ [1/2; +∞)
Решение
Раскрывая квадраты, получаем 4·3x·ln(x + 2a) = 0, то есть x = 0 или ln(x + 2a) = 0.
Первый корень x = 0 годится только при выполнении ОДЗ: 2a > 0.
Второй: x + 2a = 1, то есть x = 1 − 2a; ОДЗ там выполняется автоматически.
Нужно, чтобы ровно один из них лежал на отрезке [0; 1] (при 2a = 1 они совпадают).
Ответ: {0} ∪ [1/2; +∞).
Первый корень x = 0 годится только при выполнении ОДЗ: 2a > 0.
Второй: x + 2a = 1, то есть x = 1 − 2a; ОДЗ там выполняется автоматически.
Нужно, чтобы ровно один из них лежал на отрезке [0; 1] (при 2a = 1 они совпадают).
Ответ: {0} ∪ [1/2; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при которых уравнение
(2x + ln(x + 2a))2 = (2x − ln(x + 2a))2
имеет единственный корень на отрезке [0; 2].
(2x + ln(x + 2a))2 = (2x − ln(x + 2a))2
имеет единственный корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
[−1/2; 0] ∪ [1/2; +∞)
Решение
Раскрывая квадраты, получаем 4·2x·ln(x + 2a) = 0, то есть x = 0 или ln(x + 2a) = 0.
Первый корень x = 0 годится только при выполнении ОДЗ: 2a > 0.
Второй: x + 2a = 1, то есть x = 1 − 2a; ОДЗ там выполняется автоматически.
Нужно, чтобы ровно один из них лежал на отрезке [0; 2] (при 2a = 1 они совпадают).
Ответ: [−1/2; 0] ∪ [1/2; +∞).
Первый корень x = 0 годится только при выполнении ОДЗ: 2a > 0.
Второй: x + 2a = 1, то есть x = 1 − 2a; ОДЗ там выполняется автоматически.
Нужно, чтобы ровно один из них лежал на отрезке [0; 2] (при 2a = 1 они совпадают).
Ответ: [−1/2; 0] ∪ [1/2; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при которых уравнение
(2x + ln(x + 2a))2 = (2x − ln(x + 2a))2
имеет единственный корень на отрезке [0; 1].
(2x + ln(x + 2a))2 = (2x − ln(x + 2a))2
имеет единственный корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
{0} ∪ [1/2; +∞)
Решение
Раскрывая квадраты, получаем 4·2x·ln(x + 2a) = 0, то есть x = 0 или ln(x + 2a) = 0.
Первый корень x = 0 годится только при выполнении ОДЗ: 2a > 0.
Второй: x + 2a = 1, то есть x = 1 − 2a; ОДЗ там выполняется автоматически.
Нужно, чтобы ровно один из них лежал на отрезке [0; 1] (при 2a = 1 они совпадают).
Ответ: {0} ∪ [1/2; +∞).
Первый корень x = 0 годится только при выполнении ОДЗ: 2a > 0.
Второй: x + 2a = 1, то есть x = 1 − 2a; ОДЗ там выполняется автоматически.
Нужно, чтобы ровно один из них лежал на отрезке [0; 1] (при 2a = 1 они совпадают).
Ответ: {0} ∪ [1/2; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при которых уравнение
(2x + ln(x + 4a))2 = (2x − ln(x + 4a))2
имеет единственный корень на отрезке [0; 2].
(2x + ln(x + 4a))2 = (2x − ln(x + 4a))2
имеет единственный корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
[−1/4; 0] ∪ [1/4; +∞)
Решение
Раскрывая квадраты, получаем 4·2x·ln(x + 4a) = 0, то есть x = 0 или ln(x + 4a) = 0.
Первый корень x = 0 годится только при выполнении ОДЗ: 4a > 0.
Второй: x + 4a = 1, то есть x = 1 − 4a; ОДЗ там выполняется автоматически.
Нужно, чтобы ровно один из них лежал на отрезке [0; 2] (при 4a = 1 они совпадают).
Ответ: [−1/4; 0] ∪ [1/4; +∞).
Первый корень x = 0 годится только при выполнении ОДЗ: 4a > 0.
Второй: x + 4a = 1, то есть x = 1 − 4a; ОДЗ там выполняется автоматически.
Нужно, чтобы ровно один из них лежал на отрезке [0; 2] (при 4a = 1 они совпадают).
Ответ: [−1/4; 0] ∪ [1/4; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при которых уравнение
(x + ln(x + 2a))2 = (x − ln(x + 2a))2
имеет единственный корень на отрезке [0; 1].
(x + ln(x + 2a))2 = (x − ln(x + 2a))2
имеет единственный корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
{0} ∪ [1/2; +∞)
Решение
Раскрывая квадраты, получаем 4·x·ln(x + 2a) = 0, то есть x = 0 или ln(x + 2a) = 0.
Первый корень x = 0 годится только при выполнении ОДЗ: 2a > 0.
Второй: x + 2a = 1, то есть x = 1 − 2a; ОДЗ там выполняется автоматически.
Нужно, чтобы ровно один из них лежал на отрезке [0; 1] (при 2a = 1 они совпадают).
Ответ: {0} ∪ [1/2; +∞).
Первый корень x = 0 годится только при выполнении ОДЗ: 2a > 0.
Второй: x + 2a = 1, то есть x = 1 − 2a; ОДЗ там выполняется автоматически.
Нужно, чтобы ровно один из них лежал на отрезке [0; 1] (при 2a = 1 они совпадают).
Ответ: {0} ∪ [1/2; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.